Demostrar que X + Y + Z = X*Y*Z?
Si
Tan -¹ X + tan -¹ Y + tan -¹ Z = X*Y*Z
Demostrar que X + Y + Z = X*Y*Z
ArcTan = Tan -¹ ( son funciones Inversas)
10 punticos para el que la haga bien hecha
Si
Tan -¹ X + tan -¹ Y + tan -¹ Z = X*Y*Z
Demostrar que X + Y + Z = X*Y*Z
ArcTan = Tan -¹ ( son funciones Inversas)
10 punticos para el que la haga bien hecha
Comments
Ok: es sencillo haciendo un poco de álgebra y empleando recurrentemente la identidad trigonométrica siguiente:
tan (A+B) = tan A + tan B / ( 1- tan A tan
De la hipótesis:
tan ( Tan -¹ X + tan -¹ Y + tan -¹ Z ) = tan π
Si agrupamos:
tan [ ( tan -¹ X + tan -¹ Y ) + tan -¹ Z ] = 0
Aplicamos la identidad antes referida:
tan ( tan -¹ X + tan -¹ Y ) + tan (tan -¹ Z)
--------------------------------------... = 0
1- tan ( tan -¹ X + tan -¹ Y ) tan (tan -¹ Z)
De donde:
tan ( tan -¹ X + tan -¹ Y ) + tan (tan -¹ Z) = 0
Aplicando nuevamente la identidad:
tan ( tan -¹ X ) + tan (tan -¹ Y)
--------------------------------------... + Z = 0
1 - tan ( tan -¹ X ) tan (tan -¹ Y)
De donde:
X + Y
--------- + Z = 0
1 - XY
Haciendo simple álgebra:
X + Y + Z ( 1 - XY )
--------------------------- = 0
1 - XY
Simplificando nuevamente:
X + Y + Z - XYZ = 0
De donde se deduce el teorema.