Qual a resolução deste exercío?
Um pecuarista fica sabendo que seus animais devem ingerir diariamente 60 g do nutriente A e 40 g do
nutriente B. Este pecuarista dispõe de três tipos de ração, com as seguintes características, por quilograma:
– A ração I contém 5 gramas do nutriente A e 8 gramas do nutriente B; custa R$ 4,00.
– A ração II contém 5 gramas do nutriente A e 4 gramas do nutriente B; custa R$ 3,00.
– A ração III contém 15 gramas do nutriente A e 8 gramas do nutriente B; custa R$ 8,00.
O pecuarista pretende misturar as rações І, II e Ш, de maneira que seus animais possam ingerir a
quantidade de nutrientes recomendada. Se, além disso, ele deseja gastar exatamente R$ 32,00, é
CORRETO afirmar que:
a) é impossível o pecuarista fazer a mistura de modo que seus animais possam ingerir diariamente 60 g do
nutriente A, 40 g do nutriente B e gastar exatamente R$ 32,00.
b) é possível o pecuarista fazer a mistura combinando 2 kg da ração I, 4 kg da ração II e 2 kg da ração III.
c) a mistura deve ser feita combinando 1 kg da ração I, 4 kg da ração II e 2 kg da ração III.
d) existem várias formas de fazer a mistura de modo que seus animais possam ingerir diariamente 60 g do
nutriente A, 40 g do nutriente B e gastar exatamente R$ 32,00.
e) a mistura deve ser feita combinando 4 kg da ração I, 4 kg da ração II e 2 kg da ração III.
Resposta é A
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alternativa (a)
► organizando os dados informados pelo problema:
. I → A = 05 g/kg, B = 8 g/kg, P1 = R$ 4,00/kg → x kg
.II → A = 05 g/kg, B = 4 g/kg, P2 = R$ 3,00/kg → y kg
III → A = 15 g/kg, B = 8 g/kg, P3 = R$ 8,00/kg → z kg
x, y e z serão as quantidades de cada ração que comporão a mistura
→ o pecuarista que gastar exatamente R$ 32,00/dia:
4x + 3y + 8z = 32
→ seus animais devem ingerir diariamente 60 g do nutriente A:
5x + 5y + 15z = 60 (simplificando a equação: ÷ 5)
x + y + 3z = 12
→ seus animais devem ingerir diariamente 40 g do nutriente B:
8x + 4x + 8z = 40 (simplificando a equação: ÷ 4)
2x + x + 2z = 10
► construindo o sistema de equações lineares:
4x + 3y + 8z = 32
x + y + 3z = 12
2x + x + 2z = 10
→ o sistema acima poderá ser escrito da forma de matrizes:
| 4 3 8 | . | x | . .| 32 |
| 1 1 3 | * | y | = | 12 |
| 2 1 2 | . | z | . .| 10 |
. . |
. . |_ para que o sistema tenha solução, o determinante desta matriz deverá se diferente de zero
→ calculando o det |A|:
| 4 3 8 |
| 1 1 3 | = A → det |A| = (4*1*2) + (3*3*2) + (8*1*1) - (8*1*2) - (4*3*1) - (3*1*2) = 0
| 2 1 2 |
det |A| = 0 → o sistema não tem solução. Portanto, é impossível que o pecuarista faça qq mistura com as 3 rações gastando exatamente R$ 32,00 e atendendo às necessidades de seus animais
► verificando a possibilidade do pecuarista usar somente 1 ração e atender seu orçamento e às necessidades de seus animais:
→ I: qtdd = R$ 32,00 ÷ R$ 4,00/kg = 8 kg
Qa = 8kg * 5 g/kg = 40g → são necessários 60g de A
→ II: qtdd = R$ 32,00 ÷ R$ 3,00/kg = 10,67 kg
Qa = 10,67kg * 5 g/kg = 53,33g → são necessários 60g de A
→ III: qtdd = R$ 32,00 ÷ R$ 8,00/kg = 4 kg
Qa = 4kg * 15 g/kg = 60g → ok: são necessários 60g de A
Qb = 4kg * 8 g/kg = 32g → são necessários 40g de B
Portanto nenhuma ração poderá ser utilizada isoladamente.
► verificando a possibilidade do pecuarista usar somente 2 tipos de ração e atender seu orçamento e às necessidades de seus animais:
→ ração I + II:
4x + 3y = 32 ............................................................ 34 <> 32
5x + 5y = 60 → x + y = 12 → y = 12 - x ................... y = 14
8x + 4y = 40 → 2x + y = 10 → 2x = 10 - (12 - x) → x = - 2
o sistema não tem solução
→ ração I + III:
4x + 8z = 32 → x + 2z = 8 ...................................... 11 <> 8
5x + 15z = 60 → x + 3z = 12 → 10 - z + 3z = 12 → z = 1
8x + 8z = 40 → x + z = 10 → x = 10 - z ................... x = 9
o sistema não tem solução
→ ração II + III:
3y + 8z = 32 → .......................................................... 40 <> 32
5y + 15z = 60 → y + 3z = 12 → 10 - 2z + 3z = 12 → z = 2
4y + 8z = 40 → y + 2z = 10 → y = 10 - 2z ................... y = 6
o sistema não tem solução