Questão de Física - Cinemática Angular?
Um disco horizontal, de raio R = 0,50 m, gira em torno do seu eixo com velocidade angular ω = 2π rad/s. Um projétil é lançado de fora no mesmo plano do disco e rasante a ele, sem tocá-lo, com velocidade V0 (figura), passando sobre o ponto P. O projétil sai do disco pelo ponto Q, no instante em que o ponto P está passando por aí pela primeira vez. Qual é a velocidade V0?
Figura: http://i.imgur.com/mlzSa.png
Alternativas:
a) 1,5 m/s
b) 2,6 m/s
c) 3,0 m/s
d) 5,2 m/s
e) 6,28 m/s
Comments
Olá
Chamaremos a trajetória da bala de "S". O raio formará com os pontos P e Q um triângulo isósceles, após isso divideremos esse triângulo e acharemos um outro só que agora um retângulo onde a hipotenusa é o raio ( R ) a o cateto oposto o raio divido por 2 (R / 2) e o cateto adjacente a trajetória da bala sobre 2 (S / 2) veja a figura:
http://imageshack.us/photo/my-images/192/questo.pn...
Usando Pitágoras, temos que:
R² = (S / 2)² + (R / 2)²
R² = S² / 4 + R² / 4
4R² / 4 - R² / 4 = S² / 4
3R² = S²
S = R√3
Agora, vamos descobrir os ângulos θ e β. Sabemos que:
Cos β = S / 2 / R
Cos β = R√3 / 2 / R
Cos β = R√3 / 2 x 1 / R ~~> Cortando R
Cos β = √3 / 2 ~~> Logo β = 30º
Ou seja se β vale 30º, θ irá valer 120º (1 / 3 da circunferência)
A questão diz que no momento em que a bala atinge o ponto Q, a circunferência se encontra no ponto P. Ou seja ela já percorreu 1 / 3 da circunferência, e como sua velocidade vale 2π rad/s (1 volta / s) quer dizer que ela percorreu 1 / 3 da circunferência enquanto a bala percorreu o trajeto S, logo temos o tempo de 1 / 3 segundos para isso.
Usando a formula da velocidade temos que
V = S / t
V = R√3 / 1 / 3
V = R√3x3 / 1
V = 0,5.3.1,73 ∴ V ≅ 2,6 m/s ~~> Opção
Vamos desenhar um triângulo isósceles de lados r e base x onde:
x = trajetória da bala
r = raio do disco
Teremos os lados OP e OQ medindo r e a base PQ medindo x
obs: O = centro do disco
Vamos desenhar a altura desse triângulo que vale r/2 e dividir o triângulo em dois triangulos retos. Cada triangulo reto terá como catetos r/2 e x/2 e hipotenusa r. Usando Pitágoras:
r^2 = (r/2)^2 + (x/2)^2
(x/2)^2 = r^2 - r^2/4
x/2 = r.raiz(3)/2
obs: raiz(3)/2 = cos30
Isto quer dizer que os ângulos da base do triângulo isósceles valem 30 graus. Portanto o ângulo central POQ vale 120 graus. Como é um ângulo central do disco isto quer dizer que o arco entre P e Q vale 120 graus (ou seja, 1/3 do perÃmetro). Portanto, se w vale 2.pi rad/s (que quer dizer 1 volta/s), já sabemos que a bala levou 1/3 s para cruzar o disco (pois o disco só girou 1/3 enquanto a bala cruzou ele).
Para achar a velocidade Vo (suposta constante) temos que dividir o espaço pelo tempo, ou seja:
x/(1/3)
Já sabemos que x = r.raiz(3)
Assim: V = r.raiz(3)/(1/3)
como r=1/2 m
V = 3.raiz(3)/2 m/s = 2,598 m/s
Resposta B