Risolvete questo problema please?

Nel trapezio isoscele ABCD le diagonali sono perpendicolari al lato obliquo. Il lato obliquo è lungo 42 cm e la sua proiezione sulla base maggiore è 25,2 cm. Determina: la lunghezza del perimetro del trapezio; l'area della parte colorata (ACD) aiutatemi!

Comments

  • Se la diagonale è perpendicolare al lato obliquo il triangolo formato da una diagonale, il lato obliquo e la base maggiore è rettangolo, dunque puoi applicare Euclide e Pitagora alle misure note.

    In questo caso hai un triangolo rettangolo che ha per cateti il lato obliquo (noto = 42 cm) e la diagonale (incognita) e per ipotenusa la base maggiore (incognita anch'essa).

    Primo teorema di Euclide (il cateto è medio proporzionale tra la propria proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa):

    proiezione : cateto = cateto : ipotenusa

    ossia:

    cateto² = (proiezione * ipotenusa)

    siccome conosciamo sia il cateto che la proiezione, da questa formula ricaviamo l'ipotenusa:

    ipotenusa = cateto² / proiezione = 42² / 25,2 = 70 cm

    Siccome la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore equivale alla semidifferenza tra le basi del trapezio, puoi ricavare la base minore:

    b = B - (2 x 25,2) = 70 - 50,4 = 19,6 cm

    Sempre con Euclide 1.o puoi ricavare la lunghezza della diagonale, ricordando che la somma delle proiezioni deve dare l'ipotenusa:

    cateto² = (proiezione * ipotenusa) = (70 - 25,2) * 70 = 3136 ===> cateto = √3136 = 56 cm

    Dunque il tuo trapezio ha le seguenti dimensioni:

    B = 70

    b = 19,6

    L = 42

    D = 56

    L'altezza è il cateto di un triangolo rettangolo che ha per secondo cateto la semidifferenza tra le basi e per ipotenusa il lato obliquo:

    h = √42² - 25,2² = 33,6 cm

    La superficie del triangolo formato da base minore, diagonale e lato obliquo è pari alla differenza tra la superficie del trapezio e quella del triangolo rettangolo formato da diagonale, lato obliquo e base maggiore, la cui altezza è l'altezza del trapezio stesso.

    I calcoli li puoi fare tu.

  • Applichi Euclide al triangolo rettangolo con ipotenusa la base maggiore e un cateto il lato obliquo. Tale lato è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa, ossia:

    detto BC il lato obliquo e HB la sua proiezione sull'ipotenusa (base maggiore) AB hai:

    AB : BC = BC : HB quindi

    AB*HB = BC^2 ossia

    AB = BC^2 / HB = 42^2 / 25,2 = 1764 / 25,2 = 70

    La base minore DC sarà uguale alla base maggiore meno due volte il valore HB:

    DC = AB - 2*HB = 70 - 2*25,2 = 70 - 50,4 = 19,6

    Quindi il perimetro P vale:

    P = 70 + 19,6 + 2*42 = 89,6 + 84 = 173,6

    Se le lettere coincidono con quanto ho scritto sopra devi calcolare l'area del trapezio e sottrarvi l'area del triangolo rettangolo ABC:

    In tale triangolo le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono:

    HB = 25,2 e AH = AB - HB = 70 - 25,2 = 44,8

    Applicando Euclide puoi trovare l'altezza del trapezio perché nel triangolo rettangolo ABC l'altezza relativa all'ipotenusa CH è media proporzionale con le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa:

    AH : CH = CH : HB ossia

    44,8 : CH = CH : 25,2 da cui

    CH^2 = 4,8*25,2 ossia

    CH = radice(1128,06) = 33,6

    Quindi l'area del trapezio è:

    S = (AB + DC) * CH / 2 = (70 + 19,6) * 33,6/2 = 89,6 * 16,8 = 1505,28

    L'area S1 del triangolo ABC vale:

    S1 = (AB * CH) / 2 = (70 * 33,6) / 2 = 2352 / 2 = 1176

    Quindi l'area S2 del triangolo ADC vale:

    S2 = S - S1 = 1505,28 - 1176 = 329,28

    Enjoy!

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