Integral de Sec^3 x dx????
Vamos lá:
I = ∫sec³xdx
1) Transforme sec³x em secx * sec²x
I = ∫secx.sec²xdx
2) Use o método da integração por partes:
u =sec(x) ==> du = sec(x).tg(x)
dv = sec²(x) ==> v = tg(x)
∫u.dv = u.v - ∫v.du
I = sec(x).tg(x) - ∫sec(x).tg²(x)dx
3) Agora,use a identidade trigonométrica
tg²(x) = sec²(x) - 1
I = sec(x).tg(x) - ∫sec(x).[sec²(x) - 1]dx
I = sec(x).tg(x) - ∫sec³(x)dx + ∫sec(x)dx
I = sec(x).tg(x) - I + ∫sec(x)dx
2I = sec(x).tg(x) + ln |sec(x) + tg(x)| + C
I = ½( sec(x).tg(x) + ln | sec(x) + tg(x)| ) + C
Veja:
Seja u=secx e dv=sec²xdx
du=secxtgxdx e v=tgx
⌠sec³xdx=
secxtgx-⌠secxtg²xdx=
façamos tg²x=sec²x-1, daí obtemos:
secxtgx-⌠sec³xdx+ln(secx+tgx)+c
Passando a integral do 2º para o 1º membro e dividindo por 2, obtemos:
1/2secxtgx+1/2ln(secx+tgx)+c
int[sec³(x)dx]=int[sec(x).sec²(x)dx]=
=int{sec(x).[1-tg²(x)].dx}=
=int[sec(x).dx]-int[sec(x).tg²(x).dx]....
......eq(1)
int[sec(x).dx]=ln[sec(x)+tg(x)]...
......eq(2)
int[sec(x).tg²(x).dx] faremos por integração por partes:
int[u.dv]=u.v-int[v.du]
Fazendo u=tg(x)....du=sec²(x)
e dv=tg(x).sec(x)....v=sec(x), temos:
int[sec(x).tg²(x).dx]=tg(x).sec(x)-
-int[sec²(x).sec(x).dx]=
=tg(x).sec(x)-int[sec³(x).dx]......
.......eq(3)
Substituindo eq(2) e eq(3) em eq(1), temos:
int[sec³(x).dx]=ln[sec(x)+tg(x)]+
+tg(x).sec(x)-int[sec³(x).dx]
Passando int[sec³(x).dx] da direita para a esquerda, temos:
2.int[sec³(x).dx]=ln[sec(x).tg(x)]+
+tg(x).sec(x)
int[sec³(x).dx]=ln[sec(x).tg(x)]/2+
+[tg(x).sec(x)]/2
+[sec(x)+tg(x)]/2........Resposta
Leite integral para não secar ponha cubos de gelo.
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Vamos lá:
I = ∫sec³xdx
1) Transforme sec³x em secx * sec²x
I = ∫secx.sec²xdx
2) Use o método da integração por partes:
u =sec(x) ==> du = sec(x).tg(x)
dv = sec²(x) ==> v = tg(x)
∫u.dv = u.v - ∫v.du
I = sec(x).tg(x) - ∫sec(x).tg²(x)dx
3) Agora,use a identidade trigonométrica
tg²(x) = sec²(x) - 1
I = sec(x).tg(x) - ∫sec(x).[sec²(x) - 1]dx
I = sec(x).tg(x) - ∫sec³(x)dx + ∫sec(x)dx
I = sec(x).tg(x) - I + ∫sec(x)dx
2I = sec(x).tg(x) + ln |sec(x) + tg(x)| + C
I = ½( sec(x).tg(x) + ln | sec(x) + tg(x)| ) + C
Veja:
Seja u=secx e dv=sec²xdx
du=secxtgxdx e v=tgx
⌠sec³xdx=
secxtgx-⌠secxtg²xdx=
façamos tg²x=sec²x-1, daí obtemos:
⌠sec³xdx=
secxtgx-⌠sec³xdx+ln(secx+tgx)+c
Passando a integral do 2º para o 1º membro e dividindo por 2, obtemos:
⌠sec³xdx=
1/2secxtgx+1/2ln(secx+tgx)+c
int[sec³(x)dx]=int[sec(x).sec²(x)dx]=
=int{sec(x).[1-tg²(x)].dx}=
=int[sec(x).dx]-int[sec(x).tg²(x).dx]....
......eq(1)
int[sec(x).dx]=ln[sec(x)+tg(x)]...
......eq(2)
int[sec(x).tg²(x).dx] faremos por integração por partes:
int[u.dv]=u.v-int[v.du]
Fazendo u=tg(x)....du=sec²(x)
e dv=tg(x).sec(x)....v=sec(x), temos:
int[sec(x).tg²(x).dx]=tg(x).sec(x)-
-int[sec²(x).sec(x).dx]=
=tg(x).sec(x)-int[sec³(x).dx]......
.......eq(3)
Substituindo eq(2) e eq(3) em eq(1), temos:
int[sec³(x).dx]=ln[sec(x)+tg(x)]+
+tg(x).sec(x)-int[sec³(x).dx]
Passando int[sec³(x).dx] da direita para a esquerda, temos:
2.int[sec³(x).dx]=ln[sec(x).tg(x)]+
+tg(x).sec(x)
int[sec³(x).dx]=ln[sec(x).tg(x)]/2+
+[tg(x).sec(x)]/2
int[sec³(x).dx]=ln[sec(x).tg(x)]/2+
+[sec(x)+tg(x)]/2........Resposta
Leite integral para não secar ponha cubos de gelo.