Integral da secante ao cubo.....?

Integral de Sec^3 x dx????

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  • Vamos lá:

    I = ∫sec³xdx

    1) Transforme sec³x em secx * sec²x

    I = ∫secx.sec²xdx

    2) Use o método da integração por partes:

    u =sec(x) ==> du = sec(x).tg(x)

    dv = sec²(x) ==> v = tg(x)

    ∫u.dv = u.v - ∫v.du

    I = sec(x).tg(x) - ∫sec(x).tg²(x)dx

    3) Agora,use a identidade trigonométrica

    tg²(x) = sec²(x) - 1

    I = sec(x).tg(x) - ∫sec(x).[sec²(x) - 1]dx

    I = sec(x).tg(x) - ∫sec³(x)dx + ∫sec(x)dx

    I = sec(x).tg(x) - I + ∫sec(x)dx

    2I = sec(x).tg(x) + ln |sec(x) + tg(x)| + C

    I = ½( sec(x).tg(x) + ln | sec(x) + tg(x)| ) + C

  • Veja:

    Seja u=secx e dv=sec²xdx

    du=secxtgxdx e v=tgx

    ⌠sec³xdx=

    secxtgx-⌠secxtg²xdx=

    façamos tg²x=sec²x-1, daí obtemos:

    ⌠sec³xdx=

    secxtgx-⌠sec³xdx+ln(secx+tgx)+c

    Passando a integral do 2º para o 1º membro e dividindo por 2, obtemos:

    ⌠sec³xdx=

    1/2secxtgx+1/2ln(secx+tgx)+c

  • int[sec³(x)dx]=int[sec(x).sec²(x)dx]=

    =int{sec(x).[1-tg²(x)].dx}=

    =int[sec(x).dx]-int[sec(x).tg²(x).dx]....

    ......eq(1)

    int[sec(x).dx]=ln[sec(x)+tg(x)]...

    ......eq(2)

    int[sec(x).tg²(x).dx] faremos por integração por partes:

    int[u.dv]=u.v-int[v.du]

    Fazendo u=tg(x)....du=sec²(x)

    e dv=tg(x).sec(x)....v=sec(x), temos:

    int[sec(x).tg²(x).dx]=tg(x).sec(x)-

    -int[sec²(x).sec(x).dx]=

    =tg(x).sec(x)-int[sec³(x).dx]......

    .......eq(3)

    Substituindo eq(2) e eq(3) em eq(1), temos:

    int[sec³(x).dx]=ln[sec(x)+tg(x)]+

    +tg(x).sec(x)-int[sec³(x).dx]

    Passando int[sec³(x).dx] da direita para a esquerda, temos:

    2.int[sec³(x).dx]=ln[sec(x).tg(x)]+

    +tg(x).sec(x)

    int[sec³(x).dx]=ln[sec(x).tg(x)]/2+

    +[tg(x).sec(x)]/2

    int[sec³(x).dx]=ln[sec(x).tg(x)]/2+

    +[sec(x)+tg(x)]/2........Resposta

  • Leite integral para não secar ponha cubos de gelo.

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