Dizemos que uma sequência de vetores u1, u2, ..., un de um espaço vetorial V é linearmente independente (L.I.) se a combinação linear α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un = 0 só for satisfeita quando α1 = ... = αn = 0.
E uma sequência de vetores u1, u2, ..., un é linearmente dependente (L.D.) se não for L.I., ou seja, é possível encontrar números reais α1, ..., αn não todos nulos tais que α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un = 0.
Exemplo:
A sequência de vetores (1,1,1), (1,0,0) e (1,0,0) é L.I. em R³, pois temos a solução da combinação linear:
α1*(1,1,1) + α2*(1,0,0) + α3*(1,0,0) = (0,0,0),
que equivale a resolver o sistema
α1 + α2 + α3 = 0
α1 + α2 = 0
α3 = 0
que possui solução única α1 = α2 = α3 = 0.
Uma base de um espaço V é uma sequência de vetores L.I. de V que gera V e a dimensão de V é o número de elementos de uma base qualquer de V.
Exemplo:
Os vetores de B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} formam uma base de R³.
Esses vetores são L.I. e todo (x,y,z) pertencente a R³ se escreve como
Comments
Dizemos que uma sequência de vetores u1, u2, ..., un de um espaço vetorial V é linearmente independente (L.I.) se a combinação linear α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un = 0 só for satisfeita quando α1 = ... = αn = 0.
E uma sequência de vetores u1, u2, ..., un é linearmente dependente (L.D.) se não for L.I., ou seja, é possível encontrar números reais α1, ..., αn não todos nulos tais que α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un = 0.
Exemplo:
A sequência de vetores (1,1,1), (1,0,0) e (1,0,0) é L.I. em R³, pois temos a solução da combinação linear:
α1*(1,1,1) + α2*(1,0,0) + α3*(1,0,0) = (0,0,0),
que equivale a resolver o sistema
α1 + α2 + α3 = 0
α1 + α2 = 0
α3 = 0
que possui solução única α1 = α2 = α3 = 0.
Uma base de um espaço V é uma sequência de vetores L.I. de V que gera V e a dimensão de V é o número de elementos de uma base qualquer de V.
Exemplo:
Os vetores de B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} formam uma base de R³.
Esses vetores são L.I. e todo (x,y,z) pertencente a R³ se escreve como
(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1).
A dimensão de R³ é igual a 3.