Quem consegue responder essa de Números complexos?
Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo
w = (1+i√3)* (*= quer dizer que é elevado a n), é um número real somente quando n for múltiplo de 3.
Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo
w = (1+i√3)* (*= quer dizer que é elevado a n), é um número real somente quando n for múltiplo de 3.
Comments
Boa noite!
w=1+i.V(3)=>w²=1²+(V(3))²=>IwI=2 Como x=1 e y=V(3)
senâ=x/IwI=>senâ=V(3)/2>0
cosâ=y/IwI=>cosâ=1/2>0
Como o cosseno e o seno são positivos ,então â pertence ao 1 quadrante e â=60=(pi/3)rad.Então a forma trigonométrica de w é:
w=IwI(cosâ + isenâ)=2[cos(pi/3)+i.sen(pi/3)]
Lembre-se que a primeira fórmula de Moivre é:
w^n=(IzI^n).[cos(nâ)+ i.sen(nâ)] ,assim:
w^n=(2^n).[cos(npi/3)+ i. sen(npi/3)].Logo:
Para w^n ser :
a)Real:A parte imaginária deve ser anulada, e isso só é possivel se
sen(n.pi/3)=0=>npi/3=kpi =>n/3=k=>n=3k(logo, n é múltiplo de 3)
b)Complexo puro:A parte real deve ser nula ,então cos(npi/3)=0.Logo,
npi/3=pi/2=>n=3/2(pi)
Boa sorte e Jesus te ama.
Seja z= 1+ i·â3 = 2· (1/2+ i· â3/2) = 2_60graus
--> w= z^n = 2^n_ (60·n) graus € R se e somente se
60n= 180·k com k€ Z <-->
n=3·k com k€Z <-->
n é múltiplo de 3
Saludos