Quem consegue responder essa de Números complexos?

Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo

w = (1+i√3)* (*= quer dizer que é elevado a n), é um número real somente quando n for múltiplo de 3.

Comments

  • Boa noite!

    w=1+i.V(3)=>w²=1²+(V(3))²=>IwI=2 Como x=1 e y=V(3)

    senâ=x/IwI=>senâ=V(3)/2>0

    cosâ=y/IwI=>cosâ=1/2>0

    Como o cosseno e o seno são positivos ,então â pertence ao 1 quadrante e â=60=(pi/3)rad.Então a forma trigonométrica de w é:

    w=IwI(cosâ + isenâ)=2[cos(pi/3)+i.sen(pi/3)]

    Lembre-se que a primeira fórmula de Moivre é:

    w^n=(IzI^n).[cos(nâ)+ i.sen(nâ)] ,assim:

    w^n=(2^n).[cos(npi/3)+ i. sen(npi/3)].Logo:

    Para w^n ser :

    a)Real:A parte imaginária deve ser anulada, e isso só é possivel se

    sen(n.pi/3)=0=>npi/3=kpi =>n/3=k=>n=3k(logo, n é múltiplo de 3)

    b)Complexo puro:A parte real deve ser nula ,então cos(npi/3)=0.Logo,

    npi/3=pi/2=>n=3/2(pi)

    Boa sorte e Jesus te ama.

  • Seja z= 1+ i·√3 = 2· (1/2+ i· √3/2) = 2_60graus

    --> w= z^n = 2^n_ (60·n) graus € R se e somente se

    60n= 180·k com k€ Z <-->

    n=3·k com k€Z <-->

    n é múltiplo de 3

    Saludos

Sign In or Register to comment.