Ajuda em Matemática - áreas de figuras planas?
* Favor colocar os cálculos.
1) Determine a área do losango sob a condição:
a. A soma e o produto das medidas das diagonais são, respectivamente, 126cm e 3888cm². Resposta: 1944cm²
2) Em um mapa, feito em uma escala de 90 km por 1cm, certo município aparece representado por uma losango cujo lado mede 1,25cm. Sabendo que as medidas das diagonais estão entre si assim como 3 está para 4, determine a área real desse município, em km². Resposta: 12150 km²
Comments
Vamos lá amigo
1) quando vc fala a soma da diagonais é 126 e o produtos da diagonais é 3888,
resumindo em formulas é assim: lembrando que losango tem uma diagonal maior (D) e uma diagonal menor (d), portanto
soma das diagonais -------> d + D = 126
produto das diagonais ----> d.D = 3888
pronto temos um sistema de equações com 2 icognitas, que podemos resolver de varias maneiras,
mas neste caso vamos usar o método da substituição, que consiste em encontrar uma deterninda icognita é substituir na outra equação.
ma, não iremos responder assim já que sabemos que a area do losango é base menor x base maior sobre 2, assim
A = d.D/2, como no enunciado fala que o produto das diagonais é 3888, não precisamos fazer contas basta substituir esse valor na formula, pq a area é a metade do produto das diagonais.
A = 3888/2 = 1944
espero que tenha entendido.
2) encontrar a area do pais temos o seguinte do enunciado:
a) escala da 90 km por 1cm
b) lado do losango 1,25cm
c) diagonais entre si como 3 está para 4 ( d/D = 3/4)
como o municipio tem a forma de um losango, logo teremos a area dele assim;
A = d.D/2,
como só temos o lado desse losango vamos uma o velho teorema de pitagoras para sair dessa
dividindo o losango em 4 triagulos teremos, os lados desses triagulos (catetos) metade de cada diagonal ( faça o desenho para entender melhor) d/2 e D/2
teorema de pitagoras
a^2 = b^2 + c^2
a = 1,25
b= d/2
c= D/2
substituindo
a^2 = b^2 + c^2
1,25^2= (d/2)^2 + (D/2)^2, através da proporção podemos entrar D/2 assim;
[d/D = 3/4-----> D = 4d/3 (multiplicando por 1/2 para encontrar o que queremos teremos) ---> D/2 = 4d/6], substituindo.
1,25^2= (d/2)^2 + (D/2)^2
1,25^2 = (d^2)/4 + (4d/6)^2
1,25^2 = (d^2)/4 + (16d^2)/36 -----> tirando mmc de 4 e 36, que é 36, então
1,25^2 = (9d^2 + 16d^2)/36
1,25^2 = 25d^2/36 ( organizando)
25d^2 = 1,25^2.36
d^2 = (1,25^2.36)/25 (para tirar o 2 como potencia de d, passamos para o outro lado em forma de raiz cujo o indice é o valor da pontencia, no nosso caso quadrado, então, teremos raiz quadrada)
d= rais(1,25^2.36)/25
d = (1,25.6)/5
d= 7,5/5
d = 1,5
encontrando diagonal maior
D = 4d/3
D = 4.1,5/3
D = 2
logo a Area do Losango (municipio) é
A = d.D/2
A = 1,5.2/2
A = 1,5 cm^2
agora vamos fazer a transformação
90 km por 1 cm, mais veja que nossa area está em cm^2 então vamos arrumar a escala é só elevarmos ela ao quadrado fica assim
90^2km ----- 1^2 cm
8100km^2 ------ 1 cm^2, com isso é só fazer a regra de 3 simples
8100km^2 ------ 1 cm^2
xkm^2 -------- 1,5cm^2, multiplicando em forma de cruz temos;
x = 8100.1,5
x = 12150km^2
espero que entenda todos os passos,
sejam m e n as diagonais do losango
m + n = 126cm
mn = 3888cm²
m = 126 - n
(126 - n)n = 3888
126n - n² = 3888
n² -126n + 3888 = 0
D = 15876 - 15552 = 324 √324= +-18
n = [126 +- 18]/2 = 72 e 54
n = 72cm m = 54cm
A = 2[n/2.m/2] = nm/2 = (72.54)/2 = 1944cm²
2) escala: 90km por 1cm ( m e n diagonais)
m/n =3/4
m = 3n/4
seja a lado do losango
a² = m²/4 + n²/4
a² = 9n²/64 + n²/4
a² = [9n² + 16n²]/64 = 25n²/64
a = 5n/8 e a = 1,25cm no papel que representa 1,25.90km = 112,5 km
a = 112,5 = 5n/8
5n = 112,5.8 = 900km
n = 180km
m = 3n/4 = 3.180/4 = 135 km
A = 2[n/2m/2] = nm/2 = (180.135)/2 = 12150 km²