ALEXANDRE!!! 10 PONTOS,QUESTÃO DE PA.?

maria-martin_60966bb826c21

Obter cinco números em PA sabendo que sua soma é 5

e a soma dos seus inversos é 563/63

Update:

eu tentei fazer assim

Soma = (a1+an).n/ 2 ---> (a1+a5).n / 2 ----> (a1+a5).5/ 2

5 = (a1+a5).5 / 2

10=(a1+a5).5

a1+a5=2

Agora a PA passa a ser

1/a1 + 1/a2...

soma = (1/a1+ 1/a5) .5 /2

563/63= (1/a1+ 1/a5). 5/ 2

1126/63 = (1/a1+a/a5).5

1126/63/5/1 = 1/a1+1/a5

5630/63 = 1/a1+1/a5

Depois não sei prosseguir com o sistema.

morphling

Cara essa questão é bem trabalhosa nas contas, mas nao tem mistério.

Os 5 números em PA = (x - 2r, x - r, x , x + r , x + 2r)

Não conheço resolução sem usar desse artifício. Porque até assim, vai ver que da muito trabalho. Acompanhe:

Soma = 5 --> x - 2r + x - r + x + x + r + x + 2r = 5 --> 5x = 5 --> x = 1

Soma dos inversos:

1/(1 - 2r) + 1/(1 - r) + 1 + 1/(1 + r) + 1/(1 + 2r) = 563/63

Multiplique tudo por (1+r)(1-r)(1-2r)(1+2r). Já vou fazer direto:

(1 - r²)(1 + 2r) + (1 + r)(1 - 4r²) + (1 - r²)(1 - 4r²) + (1 - r)(1 - 4r²) + (1 - r²)(1 - 2r) =

563(1 - r²)(1 - 4r²)/ 63

(1 - r²)(1 + 2r + 1 - 4r² + 1 - 2r) + (1 - 4r²)(1 + r + 1 - r) = 563.(1 - 5r² + 4r⁴) / 63

(1 - r²)(3 - 4r²) + (1 - 4r²). 2 = 563(4r⁴ - 5r² + 1) / 63

3 - 4r² - 3r² + 4r⁴ + 2 - 8r² = 563(4r⁴ - 5r² + 1) / 63

63.(4r⁴ - 15r² + 5) = 563.(4r⁴ - 5r² + 1)

252r⁴ - 945r² + 315 = 2252r⁴ - 2815r² + 563

2000r⁴ - 1870r² + 248 = 0

1000r⁴ - 935r² + 124 = 0........Use Bhaskara para encontrar '' r² ''

r² = (935 - 615)/2000 --> r² = 320/2000 = 4/25 --> r = ± 2/5

r² = (935 + 615)/2000 --> r² = 1550/2000 = 31/40 --> r = ± √(31/40)

Lembrar que os 5 termos são (1 - 2r, 1 - r, 1, 1 + r, 1 + 2r)

Para r = 2/5.....PA = (1/5, 3/5, 1, 7/5, 9/5)

Para r = - 2/5...PA = (9/5, 7/5, 1, 3/5, 1/5)

Faça o mesmo para r = ± √(31/40)

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Do seu jeito não da pra fazer, pois não pode considerar que a soma dos inversos será uma PA, aí não vale usar a fórmula. Exemplo:

(1, 2, 3, 4, 5..) = PA de razão 1

(1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...) Não é PA

* Tive que corrigir umas contas, agradeço a compreensão.

chloe-richardson_60966bba63069

Por motivo da razão ser irracional a questão é bem trabalhosa mesmo "ALEXANDRE"

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(x - 2r) + (x - r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 5 (I)

1/(x - 2r) + 1/(x - r) + 1/x + 1/(x + r) + 1/(x + 2r) = 63/563 (II)

Resolvendo equação (I):

(x - 2r) + (x - r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 5

x - 2r + x - r + x + x + r + x + 2r = 5

x + x + x + x + x = 5

5x = 5

x = 5/5

============

x = 1

============

Substituindo na equação (II):

1/(x - 2r) + 1/(x - r) + 1/x + 1/(x + r) + 1/(x + 2r) = 63/563

1/(1-2r) + 1/(1-r) + 1 + 1/(1+r) + 1/(1+2r) = 563/63

Aplicando-se a fórmula da soma dos termos de uma PA, vem:

S = (a1 + an)*n/2

563/63 = [1/(1-2r) + 1/(1+2r)]*5/2

2*(563/63) = [(1+2r + 1-2r)/(1-2r)(1+2r)]*5

1126/63 = [2/(1-4r²)]*5

1126/(63*5) = 2/(1-4r²)

1126/315 = 2/(1-4r²)

(1126/315)*(1-4r²) = 2

1 - 4r² = 2/(1126/315) = 2 * 315/1126 = 630/1126

4r² = 1 - 630/1126 = (1126-630)/1126 = 496/1126

r² = (496/1126) : 4 = 124/1126

r = √(124/1126)

r = 0,331849867

Portanto:

a1 = 1 - 2r = 1 - 2*0,331849867 = 0,336300267 = 0,336

a2 = 1 - r = 1 - 0,331849867 = 0,668150133 = 0,668

a3 = 1

a4 = 1 + r = 1 + 0,331849867 = 1,331849867 = 1,332

a5 = 1 + 2r = 1 + 2*0,331849867 = 1,663699733 = 1,664

Fazendo:

0,336 + 0,668 + 1 + 1,332 + 1,664 = 5

Logo:

===============================

PA = (0,336 + 0,668 + 1 + 1,332 + 1,66)

===============================

A razão sendo: r = 0,33(aproximadamente), você pode testar na equação (II), que vai dar 63/563 aproximadamente, já que é um número irracional..

roger-p

Cinco números em PA: a-2r, a-r, a, a+r, a+2r

Soma = a-2r + a-r + a + a+r + a+2r = 5a = 5

Portanto a = 1

Os cinco número são da forma 1-2r, 1-r, 1, 1+r, 1+2r

Soma dos inversos:

1/(1-2r) + 1/(1-r) + 1/1 + 1/(1+r) + 1/(1+2r) =

1/(1-2r) + 1/(1-r) + 1/(1+r) + 1/(1+2r) +1 =

mmc dos denominadores = (1-4r²).(1-r²)

[(1+2r).(1-r²) + (1-4r²)(1+r) + (1-4r²)(1-r) + (1-2r)(1-r²)]/[(1-4r²).(1-r²)] + 1 = 563/63

[(1+2r).(1-r²) + (1-4r²)(1+r) + (1-4r²)(1-r) + (1-2r)(1-r²)]/[(1-4r²).(1-r²)] = 500 / 63

[(1+2r+1-2r).(1-r²) + (1-4r²)(1+r+1-r)]/[(1-4r²).(1-r²)] = 500/63

[2.(1-r²)+2.(1-4r²)]/[(1-4r²).(1-r²)] = 500/63

2.[1-r²+1-4r²]/[(1-4r²).(1-r²)] = 500/63

(2-5r²)/[(1-4r²).(1-r²)] = 250/63

2-5r² = 250/63 . (1-4r²).(1-r²)

Chamando r² de x

2 - 5x = 250/63 . (1-4x)(1-x)

63.(2-5x) = 250.(1-4x-x+4x²)

126 - 315x = 250 -1250x +1000x²

1000x² -935x +124 = 0

Calcule o delta, encontre os "x".

Depois, encontre os "r".

Por fim, encontre os cinco números.

[agora, confere as contas acima que deram números muito estranhos...]