esercizio moto armonico HELP?
ragazzi, sto facendo questo esercizio ma non riesco a capire un passaggio:
Una massa m = 125 gr si muove su un piano orizzontale liscio con velocità costante
v0= 7 m/s. Ad un determinato istante essa entra in contatto con l’estremo libero di una
molla , orizzontale , di costante elastica K = 1000 N/m fissata ad una parete
in una parte dell'esercizio mi chiede "la forza esercitata dalla molla sulla massa in funzione del
tempo ed il suo modulo massimo", ed il risultato è
Fe= -Kx = (K v0 /W)sinWt = (Km)^(0.5) v0 sin Wt
non riesco a capire questo passaggio, io a Kx sostituirei la legge oraria del moto armonico, ma non è così dato che ho il seno.
Per favore, illustratemi questo passaggio.
Grazie mille a chi risponderà ^^
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la legge oraria del moto armonico e`
x(t)=Asen(ωt)
La forza esercitata sulla molla nel tempo e`
F(t)=kx(t)
sostituendo
F(t)=kAsen(ωt)
A e` l'ampiezza max dell'oscillazione ed e` data da
1/2mv0^2=1/2kA^2
A=v0*(m/k)^1/2
inoltre
ω=(k/m)^1/2
quindi
A=v0/ω=v0/k*(km)^1/2
infine
F(t)=k(v0/ω)sen(ωt)=(km)^1/2*v0sen(ωt)
Poni l'origine dell'asse X nella posizione di riposo dell'estremo libero della molla e assumi come istante t = 0, quello in cui la massa viene a contatto con la molla.
Per t > 0, la 2a di Newton è:
- k x = m a
da cui
a + (k/m) x = 0
Questa è l'equazione del moto armonico con pulsazione Ï = radice(k/m) = radice(8000) s^-1.
Pertanto la legge oraria è
x(t) = A sen(Ï t + b)
dove A e b sono costanti arbitrarie da determinare imponendo le condizioni iniziali del moto.
Queste sono:
x(0) = 0 ; v(0) = 7 m/s
Sapendo che
v(t) = A Ï cos(Ï t + b)
Per t = 0, si ha:
0 = A senb
vo = A Ï cosb
dalla prima ottieni
b = 0
e dalla seconda
A = vo/Ï
Concludendo, la legge del moto, per t > 0, diventa:
x(t) = (vo/Ï) sen(Ï t)
La legge della forza è:
F(t) = - k x(t) = - k vo radice(m/k) sen[radice(k/m) t] = - 78,3*sen(89,44*t)
|Fmax| = 78,3 N
Devi avere ben presente che l'equazione di un moto armonico può essere scritta sia con la legge del coseno che con quella del seno. Dipende dalle condizioni iniziali del moto.
non ne capisco