Mais uma integral indefinida para resolver por substituição!?

andarilho-vital

ʃ cos³x / sen^4x dx

Update:

Para não gerar dúvidas, com parênteses fica:

ʃ (cos³x / sen^4x) dx

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Ok, veja como resolver,

I= ʃ (cos³x / sen⁴x) dx

= ʃ [(cos³x / sen³x)∙(1/sen x)] dx

= ʃ cotg³x∙cossecx dx

= ʃ cotg²x∙cotgx∙cossecx dx

= ʃ (cossec²x - 1)∙cotgx∙cossecx dx ~~ > pois cotg²x = cossec²x -1

= ʃ cossec²x∙cotgx∙cossecx dx + ʃ(-cotgx∙cossecx) dx

= I₁ + I₂, onde I₁ = ʃ cossec²x∙cotgx∙cossecx dx e I₂ = ʃ(-cotgx∙cossecx) dx

Calculando I₁ e I₂:

I₁ = ʃ cossec²x∙cotgx∙cossecx dx

Fazendo u = cossecx ⇒ du = -cossecx∙cotgxdx ⇒ -du = cotgx∙cossecxdx, assim:

I₁ = ʃ cossec²x∙cotgx∙cossecx dx

= ʃ u²∙(-du)

= -ʃ u²du

= - u³/3 + c₁

= - (cossecx)³/3 + c₁

= -(cossec³x)/3 + c₁

E,

I₂ = ʃ(-cotgx∙cossecx) dx

= cossecx + c₂

Portanto,

I = I₁ + I₂

= -(cossec³x)/3 + cossecx + c, sendo c = c₁ + c₂ << ~~~~~ Resposta.

Observação: também é possível colocar a cossec³x em evidência e usar identidades trigonométricas, obtendo como resposta final I = (-1/6)∙(3cos(2x) -1)∙cossec³x + c, estando ambas corretas.

Pronto, até a próxima e bons estudos!! :-)