QUESTÃO 6 - VESTIBULAR UFF/2009 - FUNÇÃO E MATRIZES?
Questão 6 da prova da UFF/2009/1ª etapa.
Na década de 1940, o estatístico P. H. Leslie propôs um modelo usando matrizes para o estudo da
evolução de uma população ao longo do tempo. Se, por exemplo, x(t) e y(t) representam a distribuição de indivíduos no ano t em duas faixas etárias, no modelo de Leslie, a distribuição de indivíduos x(t + 1) e y(t + 1) no ano t + 1, nessas mesmas duas faixas etárias, é dada por
[x(t +1)] [a b] [x(t)]
[y(t +1)] = [p 0] [y(t)]
As constantes a e b representam as fertilidades em cada faixa etária e a constante p representa a taxade sobrevivência da primeira faixa etária.
Se a = 0; b = 10; p = 0,1; e sabendo que x(0) = 2 000 e y(0) = 200; então, a distribuição de indivíduos no ano t = 10 é dada por:
(A) x(10) = 20 000 e y(10) = 2 000
(B) x(10) = 2 000 e y(10) = 200
(C) x(10) = 2 000(elevado a 10) e y(10) = 200(elevado a 10)
(D) x(10) = 2 000 1010 e y(10) = 200 10(elevado a -10)
(E) x(10) = 2 000 10(elevado a -10) e y(10) = 200 10(elevado a 10)
AGRADEÇO DESDE JÁ A TODOS QUE CONTRIBUIREM COM UM POUQUINHO DE CONHECIMENTO A RESPEITO DA QUESTÃO. VESTIBULAR UFF/2010 ESSE FIM DE SEMANA! PRECISO DE AJUDA COM A QUESTÃO, OBRIGADA!
Questão número 6 para quem preferir: http://www.coseac.uff.br/2009/provas/UFF_Vestibula...
Comments
Vamos lá
Como a = 0; b = 10; p = 0,1, a matriz que temos que considerar é
[ 0 , 10]
[0,1 , 0]
e vamos chamá-la de M.
Seja v(t) o vetor definido como
v(t) = (x(t), y(t))
Sabemos que
v(0) = (x(0), y(0)) = (2000 , 200)
e também sabemos que
v(t+1) = M.v(t)
portanto,
v(1) = M.v(0)
v(2) = M.v(1) = M.M.v(0) = M².v(0)
v(3) = M.v(2) = M.M².v(0) = M³.v(0)
...
v(10) =M.v(9)=M.M^9.v(0) = M^10.v(0)
Ou seja, para determinar v(10) devemos calcular M^10 (isto é, M elevado a 10) e aplicar a v(0).
Seja I a matriz identidade, ou seja
[1 , 0]
[0 , 1]
É fácil ver que
M.M = I
e
M.I = M
Logo:
M² = M.M = I
M³ = M.M² = M.I = M
M^4 = M.M³ = M.M = I
M^5 = M.M^4 = M.I = M
...
M^10 = M.M^9 = M.M = I
Logo
V(10) = I.v(0) = v(0) = (2000 , 200)
ou seja,
x(10) = 2000 e y(10) = 200
A resposta é a letra B.