Equação biquadrada :s?
Me ajudem por favor, no meu livro tem uns exercícios que eu não entendo, como esses:
x4 - (a² + b²)x² + a²b² = 0 (x elevado a quarta potência...)
x6 - 9x³ + 8 = 0 (x elevado a sexta potência, 9x ao cubo...)
tem como fazer com expoente ímpar?
x10 - 33x5 + 32 = 0 (x elevado a décima potência, 33x elevado a quinta potência...)
x4 - (2a² + b²)x² + 2a²b² = 0
Se tiver algum professor (a) de matemática, e quiser me passar e-mail ou msn, eu agradeço, pois de vez enquando tenho umas duvidas.
Desde já agradeço
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Para resolver uma equação biquadrada, ou seja, uma equação do tipo a.x^(2n) + b.x^(n) + c = 0 , com a e b não-nulos, e sendo n um número real (preferencialmente natural), tudo que vc deve fazer é usar uma mudança de variáveis, ou incógnita auxiliar (são dois nomes para a mesma coisa), a fim de transformar uma equação biquadrada em uma equação do segundo grau(que a essa altura vc ja deve saber resolver, né?).
Obs: o sinal "^" significa "elevado a".
Vou resolver um dos exercícios só pra vc ter uma ideia.
x^4 - (a² + b²)x² + a²b² = 0
x^4 é o mesmo que (x²)² , segundo as regras de potenciação.
Faça y = x².
Daí vc tem:
(x²)² - (a² + b²)x² + a²b² = 0 ---> y² - (a² + b²)y + a²b² = 0
Δ = (a² + b²)² - 4. 1 . a²b² = a^4 + 2a²b² + b^4 - 4a²b² = a^4 - 2a²b² + b^4 = (a² - b²)²
y1 = {(a² + b²) + √[(a² - b²)²]} / 2 = 2a² / 2 = a²
y2 = {(a² + b²) - √[(a² - b²)²]} / 2 = 2b² / 2 = b²
Desfazendo a mudança de variaveis temos:
y1 = x² = a² ---> x1 = a e x2 = -a
y2 = x² = b² ---> x3 = b e x4 = -b
Portanto,as raizes da equação x^4 - (a² + b²)x² + a²b² = 0 são a,-a,b e -b.
Acho que essas letras (a e b) confundiram mais sua cabeça.Vou dar um exemplo com números agora:
x^4 - 5x² + 6 = 0
fazendo y = x²:
y² - 5y + 6 = 0
Δ = 1
y1 = 3 ----> x1 = √3 e x2 = -√3
y2 = 2 ----> x3 = √2 e x4 = -√2
Sera que agora as coisas ficaram mais claras?
Abraço.