Como se determina os intervalos onde f é crescente e onde f eh decrescente?
Determine os intervalos onde f é crescente e onde f eh decrescente,o ponto de mínimo ou de maximo ;o valor maximo ou minimo e a imagem.
f(x)= 5x² + x + 2
f(x)= -x² + 3x + 6
f(x)= (4x-1) (1/2 -x)
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Os intervalos onde a função é crescente são os intervalos onde suas variações são positivas. Nesse caso, onde sua derivada for positiva, teremos crescimento. Onde for negativa, teremos decrescimento:
f(x) = 5x² + x + 2
f '(x) = 10x + 1
A função é:
Crescente ---> [-1/10 ; ∞)
Decrescente ---> (-∞ ; 1/10)
f(x) = -x² + 3x + 6
f '(x) = -2x + 3
A função é:
Crescente ----> [3/2 ; ∞)
Decrescente ---> (-∞ ; 3/2)
f(x) = (4x - 1)(1/2 - x)
f '(x) = 4(1/2 - x) -( 4x - 1) = 2 - 4x - 4x + 1 = -8x + 3
A função é:
Crescente ---> [3/8 ; ∞)
Decrescente ---> (-∞ ; 3/8)
PS: Demonstração:
Proposição : Seja f uma função contínua e deriváveis no intervalo [a ; b]. Se a derivada da função f for positiva nesse intervalo, a função será crescente em todo ele. Caso o contrário, será decrescente:
Sejam x e y, valores pertencentes ao intervalo [a ; b], onde y > x e a derivada de x é positiva em todo o intervalo:
lim [f(y) - f(x)]/(y - x) > 0
x-->y
Isso quer dizer que:
(f(y) - f(x))/(y - x) > 0
Uma vez que y > x ---> y - x > 0. Portanto, temos que:
f(y) - f(x) > 0 ---> f(y) > f(x)
Isso mostra que a função cresceu, não importa quais valores de x e y. Podemos usar esse mesmo argumento para provar o caso de derivada negativa.
Vou fazer a primeira, o resto é análogo...
Irei usar cálculo diferencial, caso não saiba comente.
f(x) = 5x² + x + 2
Vamos calcular a derivada f '(x) (usarei a regra da potência (a^n)' = na^(n - 1))
f '(x) = 10x + 1
A derivada de uma função geometricamente nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico, logo, se a derivada é positiva a função é crescente, se a derivada é negativa, a função é decrescente.
Vamos calcular o zero de f '(x)
10x + 1 = 0 => x = -1/10
Agora devemos analisar o sinal de f '(x) antes e depois de seu zero (pode fazer isso usando o fato de tratar de uma função afim, ou usar pontos de teste, faça sua escolha).
..........................-1/10...............................
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Logo temos que f(x) é descrentes antes de -1/10 e crescente após -1/10, em sÃmbolos:
decrescente: x Ð ] -â, -1/10 [
crescente: x Ð ] -1/10, +â [
Existe um teorema que diz que uma função apresenta ponto de máximo ou minimo quando sua derivada é igual a zero, para saber se trata-se de um máx. ou min, basta observar a mudança de sinal da derivada, se passar de positivo para negativo, temos um máximo, caso contrário, um minimo.
Observando nosso "quadro de sinais", vemos que f ' muda de decrescente para crescente no ponto -1/10, logo este é um ponto de mÃnimo.
Por fim, a imagem, como trata-se de uma função quadrática (ax² + bx + c) e concava para cima (pois a = 5 > 0 ), sua imagem será o vértice "em diante", neste caso acima do vértice, em sÃmbolos:
Im : f(x) Ð ] -1/10, +â [
O resto é análogo...
abs