¿Cómo resuelvo este problema de Geometría Analítica?
Dados:
A (4,3)
B (4,12)
Hallar C de Abscisa Positiva tal que ABC es un triángulo equilátero. Poner procedimiento
por fa, ayuda, estoy muy confundida, no sé que hacer allí......
Dados:
A (4,3)
B (4,12)
Hallar C de Abscisa Positiva tal que ABC es un triángulo equilátero. Poner procedimiento
por fa, ayuda, estoy muy confundida, no sé que hacer allí......
Comments
A = (4,3) "punto 1"
B = (4,12) "punto 2"
x1 = 4
y1 = 3
x2 = 4
y2 = 12
Fórmula de la distancia entre dos puntos: d = raiz[(y2-y1)²+(x2-x1)²]
d = raiz[(12-3)²+(4-4)²]
d = raiz[ (9)² ]
d = 9 "lado del triángulo elquilátero"
A = (4,3) "punto 1"
C = (x,y) "punto 2"
d = raiz[(y2-y1)²+(x2-x1)²]
9 = raiz[(y-3)²+(x-4)²]
elevando al cuadrado para despejar raíces:
(9)² = [ raiz[(y-3)²+(x-4)²] ]²
81 = (y-3)² + (x-4)² "primera ecuación lista"
81 = y² -6y +9 +x² -8x +16
x² +y² -8x -6y -56 = 0 "primera ecuación ordenada e igualada a cero"
B = (4,12) "punto 1"
C = (x,y) "punto 2"
d = raiz[(y2-y1)²+(x2-x1)²]
9 = raiz[(y-12)²+(x-4)²]
elevando al cuadrado para despejar raíces:
(9)² = [ raiz[(y-12)²+(x-4)²] ]²
81 = (y-12)² + (x-4)² "segunda ecuación lista"
81 = y² -24y +144 +x² -8x +16
x² +y² -8x -24y +79 = 0 "segunda ecuación ordenada e igualada a cero"
Ahora juntamos las dos ecuaciones reunidas y formamos un sistema de ecuaciones simultáneas de segundo grado:
x² +y² -8x -6y -56 = 0
x² +y² -8x -24y +79 = 0
multiplicando por -1 la segunda ecuación y aplicando el método de reducción:
x² +y² -8x -6y -56 = 0
-x² -y² +8x +24y -79 = 0
--------------------------------------…
// // // 18y -135 = 0
resolviendo esta ecuación:
18y -135 = 0
18y = 135
y = 135/18
y = 15/2
y = 7,5 "valor de la coordenada en "y" del punto C"
Ahora recordemos lo que teníamos al principio en los puntos A y C para poder despejar el valor de la variable "x" que formará parte del punto:
A = (4,3) "punto 1"
C = (x, 15/2) "punto 2"
d = raiz[(y2-y1)²+(x2-x1)²]
9 = raiz[(15/2 -3)²+(x-4)²]
elevando al cuadrado para despejar raíces:
(9)² = [ raiz[(9/2)²+(x-4)²] ]²
81 = (9/2)² + (x-4)² "primera ecuación lista"
81 = 81/4 +x² -8x +16
ordenando:
x² -8x +16 +81/4 -81 = 0
multiplicando por 4 que es el común denominador:
4(x²) +4(-8x) +4(16) +4(81/4) +4(-81) = 4(0)
4x² -32x +64 +81 -324 = 0
4x² -32x -179 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado por la fórmula general:
a = 4
b = -32
c = -179
x1 = [ -b+raiz[b²-4ac] ] /2a
x1 = [ -(-32)+raiz[(-32)²-4(4)(-179)] ] /2(4)
x1 = [ 32 +raiz[1024 +2864] ] /8
x1 = [ 32 +raiz[3888] ] /8
x1 = [ 32 +62,35 ] /8
x1 = 11,79 "abscisa positiva"
x2 = [ -b-raiz[b²-4ac] ] /2a
x2 = [ -(-32)-raiz[(-32)²-4(4)(-179)] ] /2(4)
x2 = [ 32 -raiz[1024 +2864] ] /8
x2 = [ 32 -raiz[3888] ] /8
x2 = [ 32 -62,35 ] /8
x1 = -3,79 "valor descartado ya que el problema pide abscisa positiva"
Juntemos los valores que deben tener las coordenadas del punto "C" y ésos son:
x = 11,79
y = 7,5
Respuesta: Las coordenadas del punto "C" son (11,79 ; 7,5)
Fuente(s):
Respuesta: Las coordenadas del punto "C" son (11,8 ; 7,5)
Primero, ABC es un trÃangulo, entonces la suma de sus ángulos es 180°
Luego, es equilátero, por lo que cada ángulo es de 60°.
Ahora, entiendo quieres la abscisa del punto C:
Vemos que la abscisa de A y B, es 4. Es una referencia.
La longitud del tramo AB es de 12-3 = 9, entonces cada tramo AB,AC,BC, mide 9
Visualiza, los puntos A y B, el C, está hacia uno de los lados, y a media altura entre ellos,
Tomemos el tramo AC.
Sabemos que su longitud es 9 y el ángulo que forma con la recta AB es de 60°
Entonces el ángulo que forma con la horizontal, por complemento, es de 30°
La abscisa del punto C, corresponde entonces a la proyección horizontal del tramo AC, la cual puedes obtener:
1) 9 cos(30°) = 9 (0.8660) = 7.79
2) 9 sen (60°) = 9 (0.8660) = 7.79
Recuerda que seno = Cateto opuesto / Hipotenusa
coseno = Cateto adyacente / hipotenusa, por lo que usar una u otra función, depende del ángulo que consideres, el interno del triangulo o su complemento.
Ahora, esta medida es la de la proyección, la cual esta referenciada a la abscisa del punto A, o lo que es igual, la recta AB, entonces el punto C está a 4+7.79 ó 4-7.79.
Si ves, solo uno de esos resultados dará positivo, que es lo que quieres,
Entonces la abscisa de C es 4+7.79 = 11.79
Sus coordenadas completas, recordando que al ser un triángulo equilátero, la perpendicular de un vértice hacia la recta opuesta cae a la mitad de ese tramo, son (11.79,7.5)
Te lo diré de la forma más sencilla posible:
Primero tienes que calcular la distancia de A a B.
En este caso serÃa:
RaÃz cuadrada de [(4-4)¨2 + (3-12)¨2] = 9
Esto significa que la distancia es 9.
Ahora, el punto C tiene que estar a la misma distancia de ambos puntos para que el triángulo formado sea equilátero.
Si el punto C fuera: (x,y), date cuenta que la coordenada y deberÃa ser: 7.5 (porque se suma 3 + 12 y luego se divide entre 2).
Ahora planteas la siguiente ecuación:
RaÃz Cuadrada de [(4-x)¨2 + (3 - 7.5)¨2] = 9
Despejas la x:
x = (RaÃz cuadrada de 60.75) + 4
Por lo tanto, el punto C de abcisa positiva que andas buscando es:
C (11.79422863, 7.5)