D é um trinômio do segundo grau cujo coeficiente do termo quadrático é 2 > 0. Logo, D tem um mínimo global em x* = (-2(a + b))/4 = (a + b)/2. Assim, o ponto desejado é ((a+ b)/2, (a+ b)/2). A distância mínima é d(x*) = raiz((-4a^2 - 8ab - 4b^2 + 8a^2 + 8b^2)/8) = raiz(a^2 - 2ab + b^2)/2) = |a - b|/√2 = |a - b|(√2)/2.
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A distância de (x, x) a (a, b) é d(x)= raiz((x - a )^2 + (x - b)^2)). Queremos minimizar d.
Como minimizar uma raiz quadrada equivale a minimizar o radicando, basta minimizar
D(x) = (x - a )^2 + (x - b)^2 = 2x^2 - 2(a + b)x + a^2 + b^2
D é um trinômio do segundo grau cujo coeficiente do termo quadrático é 2 > 0. Logo, D tem um mínimo global em x* = (-2(a + b))/4 = (a + b)/2. Assim, o ponto desejado é ((a+ b)/2, (a+ b)/2). A distância mínima é d(x*) = raiz((-4a^2 - 8ab - 4b^2 + 8a^2 + 8b^2)/8) = raiz(a^2 - 2ab + b^2)/2) = |a - b|/√2 = |a - b|(√2)/2.