sommmatoria da piu infinito a n uguale ad 1 di:
(radice di n) x (sen n) x ( sen di 1/n)elevato alla seconda
10 punti assicurati!
. ∞
. ∑ √n sen(n)sen²(1/n)
n=1
1) |sen(x)| ≤ 1 per ogni x reale, quindi |sen(n)| ≤ 1 per ogni n intero
2) 0 < sen(x) < x per ogni x > 0, quindi 0 < sen(1/n) < 1/n per ogni intero n ≥ 1
3) allora 0 < sen²(1/n) < (1/n)² = 1/n² per ogni intero n ≥ 1
4) allora
|√n sen(n)sen²(1/n)| = √n |sen(n)|sen²(1/n) ≤ √n sen²(1/n) < √n(1/n²) = 1/n^(3/2)
per ogni n ≥ 1
5)
. ∞ ............... ∞
. ∑ 1/(n√n) = ∑ 1/n^(3/2) < ∞
n=1 ............. n=1
perché è noto che ∑ 1/n^k è convergente se e solo se k > 1
6) allora
. ∑ |√n sen(n)sen²(1/n)| < ∞
per il criterio del confronto.
Questo significa che la serie data è assolutamente convergente.
7) In particolare, la serie data è convergente perché è assolutamente convergente.
P.S. Si legge “serie (o sommatoria) per n che va da 1 a infinito”.
Ciao
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. ∞
. ∑ √n sen(n)sen²(1/n)
n=1
1) |sen(x)| ≤ 1 per ogni x reale, quindi |sen(n)| ≤ 1 per ogni n intero
2) 0 < sen(x) < x per ogni x > 0, quindi 0 < sen(1/n) < 1/n per ogni intero n ≥ 1
3) allora 0 < sen²(1/n) < (1/n)² = 1/n² per ogni intero n ≥ 1
4) allora
|√n sen(n)sen²(1/n)| = √n |sen(n)|sen²(1/n) ≤ √n sen²(1/n) < √n(1/n²) = 1/n^(3/2)
per ogni n ≥ 1
5)
. ∞ ............... ∞
. ∑ 1/(n√n) = ∑ 1/n^(3/2) < ∞
n=1 ............. n=1
perché è noto che ∑ 1/n^k è convergente se e solo se k > 1
6) allora
. ∞
. ∑ |√n sen(n)sen²(1/n)| < ∞
n=1
per il criterio del confronto.
Questo significa che la serie data è assolutamente convergente.
7) In particolare, la serie data è convergente perché è assolutamente convergente.
P.S. Si legge “serie (o sommatoria) per n che va da 1 a infinito”.
Ciao