verifique se a série é convergente somatório de n=1 a infinito de (n^n)/n!?

por favor me ajudem já tentei mas não consegui.

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  • Podemos tentar utilizar o critério da razão:

    an = (n^n) / n!

    an+1 = (n+1)^(n+1) / (n+1)!

    |an+1| / |an| = [ (n+1)^(n+1) / (n^n) ] * [ n! / (n+1)!] = [ (n+1)(n+1)^n / (n^n) ] * [ 1 / (n+1)]

    = [ (n+1)((n+1)/n)^n ] * [ 1 / (n+1)] = [ ((n+1)/n)^n ]

    Agora calculamos o limite de |an+1| / |an| para n->∞:

    lim(n->∞) ((n+1)/n)^n = lim (n->∞) (n+1)^n /n^n =

    Usando L'Hospital (se vc estiver fazendo o curso de análise 1 vc não pode calcular o limite assim), derivando n vezes, temos:

    lim (n->∞) (n+1)^n /n^n = lim (n->∞) n(n+1)^(n-1) / n*n^(n-1) = ... =

    = lim (n->∞) n(n+1)! / n*n! = lim (n->∞) (n+1) / n = 1, bom então o teste da razão é inconclusivo nesse caso.

    Vamos tentar usar outro teste então... o da comparação, por exemplo.

    (n^n)/n! > n/n! = 1/(n-1)! > 1/(n-1) (para n inteiro positivo)

    Sabemos que a série harmônica diverge. Como cada termos an dessa série é maior do que o termo an da série harmônica, então essa série diverge. Isso é razoável, se percebermos que o crescimento de n^n é bem mais rápido do que de n!

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