por favor me ajudem já tentei mas não consegui.
Podemos tentar utilizar o critério da razão:
an = (n^n) / n!
an+1 = (n+1)^(n+1) / (n+1)!
|an+1| / |an| = [ (n+1)^(n+1) / (n^n) ] * [ n! / (n+1)!] = [ (n+1)(n+1)^n / (n^n) ] * [ 1 / (n+1)]
= [ (n+1)((n+1)/n)^n ] * [ 1 / (n+1)] = [ ((n+1)/n)^n ]
Agora calculamos o limite de |an+1| / |an| para n->∞:
lim(n->∞) ((n+1)/n)^n = lim (n->∞) (n+1)^n /n^n =
Usando L'Hospital (se vc estiver fazendo o curso de análise 1 vc não pode calcular o limite assim), derivando n vezes, temos:
lim (n->∞) (n+1)^n /n^n = lim (n->∞) n(n+1)^(n-1) / n*n^(n-1) = ... =
= lim (n->∞) n(n+1)! / n*n! = lim (n->∞) (n+1) / n = 1, bom então o teste da razão é inconclusivo nesse caso.
Vamos tentar usar outro teste então... o da comparação, por exemplo.
(n^n)/n! > n/n! = 1/(n-1)! > 1/(n-1) (para n inteiro positivo)
Sabemos que a série harmônica diverge. Como cada termos an dessa série é maior do que o termo an da série harmônica, então essa série diverge. Isso é razoável, se percebermos que o crescimento de n^n é bem mais rápido do que de n!
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Podemos tentar utilizar o critério da razão:
an = (n^n) / n!
an+1 = (n+1)^(n+1) / (n+1)!
|an+1| / |an| = [ (n+1)^(n+1) / (n^n) ] * [ n! / (n+1)!] = [ (n+1)(n+1)^n / (n^n) ] * [ 1 / (n+1)]
= [ (n+1)((n+1)/n)^n ] * [ 1 / (n+1)] = [ ((n+1)/n)^n ]
Agora calculamos o limite de |an+1| / |an| para n->∞:
lim(n->∞) ((n+1)/n)^n = lim (n->∞) (n+1)^n /n^n =
Usando L'Hospital (se vc estiver fazendo o curso de análise 1 vc não pode calcular o limite assim), derivando n vezes, temos:
lim (n->∞) (n+1)^n /n^n = lim (n->∞) n(n+1)^(n-1) / n*n^(n-1) = ... =
= lim (n->∞) n(n+1)! / n*n! = lim (n->∞) (n+1) / n = 1, bom então o teste da razão é inconclusivo nesse caso.
Vamos tentar usar outro teste então... o da comparação, por exemplo.
(n^n)/n! > n/n! = 1/(n-1)! > 1/(n-1) (para n inteiro positivo)
Sabemos que a série harmônica diverge. Como cada termos an dessa série é maior do que o termo an da série harmônica, então essa série diverge. Isso é razoável, se percebermos que o crescimento de n^n é bem mais rápido do que de n!