Perímetro de um tetraedro. Pergunta completa com as minhas dificuldades.?
Os vértices de um tetraedro são M(0,3,4), N(-1,2,2) e Q(2,-1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo OZ. Calcule:
a) as coordenadas do Ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1. Resp. P (0,0,0) ou P(0,0,2) - esse eu consegui fazer.
b) a área e o perímetro da face NMQ. Resp: área= 3raíz de3 e Perímetro = 2p=3raiz de 6 + 3raiz de 12. Aqui eu consigo achar a área numa boa mas o perímetro dá diferente... dá 3raiz de6 + 3raiz de2.
c) os ângulos internos da face MNQ. Resp: 30º ; 90º; 60º. Não sei se porque não acho o perímetro certo não consigo achar esses ângulos.
d) calcule a altura do tetraedro MNPQ relativa a face MNQ. Resp: 1/3raiz de3. Esse nem peguei pra fazer!!!
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O volume do tetraedro regular, de acordo com a fonte abaixo, é um sexto do módulo do produto misto entre os vetores com a mesma origem, paralelos, respectivamente, a 3 arestas do tetraedro com a mesma origem.
Tomemos 3 vetores, u, v e w, paralelos, respectivamente, às 3 arestas do tetraedro que têm origem, por exemplo, no vértice M do tetraedro (o resultado do produto misto seria o mesmo se escolhêssemos outro vértice): u//MN, MQ//v e MP//w. Como o ponto P é desconhecido, mas fica no eixo z, sua coordenadas são P(0, 0, z):
MN = (-1 - 0, 2 - 3, 2 - 4) = (-1, -1, -2) ⇒ u = (-1, -1, -2)
MQ = (2 - 0, -1 - 3, 2 - 4) = (2, -4, -2) ⇒ v = (2, -4, -2)
MP = (0 - 0, 0 - 3, z - 4) = (0, -3, z-4) ⇒ w = (0, -3, z-4)
Calculemos o produto misto de u, v e w:
...................-1....-1....-2
u.(v x w) = ....2....-4....-2
....................0....-3...z-4
u.(v x w) = (-1).[(-4).(z-4) - (-2).(-3)] + (-1).(-1).[(2).(z-4) - (-2).(0)] + (-2).[(2).(-3) - (0).(-4)]
u.(v x w) = (-1).[- 4z + 16 - 6] + [2z - 8] + (-2).[- 6]
u.(v x w) = 4z - 16 + 6 + 2z - 8 + 12
u.(v x w) = 6z - 6
Como foi dito no início da solução, o volume do tetraedro regular é um sexto do módulo do produto misto entre os vetores u, v e w:
Volume = (1/6).l u.(v x w) l
a)
1 = (1/6).l u.(v x w) l
1 = (1/6).l 6z - 6 l
l 6z - 6 l = 6
Há duas respostas, conforme "6z - 6" seja "não negativo" ou "negativo":
1) 6z - 6 ≥ 0 ⇒ l 6z - 6 l = 6z - 6 ⇒ 6 = 6z - 6 ⇒ z' = 2
2) 6z - 6 < 0 ⇒ l 6z - 6 l = - (6z - 6) ⇒ 6 = - 6z + 6 ⇒ z'' = 0
b)
Sabe-se que a área de um triângulo é a metade do módulo do produto vetorial de dois vetores paralelos a dois lados desse triângulo:
Área(NMQ) = (1/2).l u x v l
..............i.....j......k
u x v =..-1....-1....-2
.............2....-4....-2
u x v = (i).[(-1).(-2) - (-2).(-4)] + (-1).(j).[(-1).(-2) - (2).(-2)] + (k).[(-1).(-4) - (2).(-1)]
u x v = (i).[2 - 8] + (-1).(j).[2 + 4] + (k).[4 + 2]
u x v = - 6i - 6j + 6k
u x v = 6(-1, -1, 1)
Área(NMQ) = (1/2).l u x v l = (1/2).6.√[(-1)² + (-1)² + (1)²] = 3√3
Para achar o perímetro do triângulo NMQ, precisamos encontrar os módulos dos vetores u = MQ, v = MN e w' = NQ. Os vetores u = MN e v = MQ já foram encontradas na questão anterior, mas w' = NQ, não. Note que, na questão anterior, achamos w = MP, e não w' = NQ. Mas w = MP não faz parte do triângulo NMQ do qual precisamos encontrar o perímetro. Falta. portanto, encontrar o vetor w' = NQ:
u = MN = (-1, -1, -2)
v = MQ = (2, -4, -2)
w' = NQ = (2 - (-1), -1 - 2, 2 - 2) = (3, -3, 0)
u = (-1, -1, -2)
v = (2, -4, -2)
w' = (3, -3, 0)
l u l = √[(-1)² + (-1)² + (-2)²] = √6
l v l = √[(2)² + (-4)² + (-2)²] = 2√6
l w' l = √[(3)² + (-3)² + (0)²] = 3√2
Perímetro (NMQ) = 3.(√6 + √2)
c)
c.1) Ângulo entre u e v: α
<u,v> = l u l.l v l. cos α
(-1).(2) + (-1).(-4) + (-2).(-2) = √6.(2√6).cos α
6 = 12.cos α ⇒ α = 60º
c.2) Ângulo entre u e w': β
<u,w'> = l u l.l w' l. cos β
(-1).(3) + (-1).(-3) + (-2).(0) = √6.(3√2).cos β
0 = 3√12.cos β ⇒ β = 90º
c.3) Ângulo entre v e w': γ
Esse não precisa achar por produto interno, pois basta lembrar que é o suplemento dos outros dois
γ = 180º - (90º + 60º) = 30º.
d) Sabe-se que o volume de uma pirâmide (o teraedro é uma pirâmide) é um terço do produto de uma base pela altura relativa a essa base. Seja h a altura do tetraedro relativa à base MNQ. Já foi fornecido o valor do volume, e o valor da área do triângulo MNQ foi calculado no item b:
Volume = (1/3)).(área da base).h
Substituindo os valores, temos:
1 = (1/2).(Volume = (1/3)).(área da base).h
1 = (1/3)).(3√3).h
1 = (√3).h
h = √3/3