Número Complexo. Quem acertar é um genio...?

carlos-r

Determine o módulo do número complexo z tal que !z!+z=2+i.

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|z| + z = 2 + i

|z| = 2 + i - z

z = x +iy

|z| = (2-x) + i(1-y)

perceba que o módulo só pode ser um número real, logo 1-y = 0 logo y=1

|z| = (2-x)

|z|² = (2-x)²

x² + y² = 4 + x² - 4x

X² + 1 = 4 + x² - 4x

-3 = -4x

x = 3/4 e y=1

z = (3/4) + i

|z| = raiz quadrada de [ (3/4)² + 1] = raiz quadrada de [9/16 + 1] raiz de 25/16 = 5/4

|z| = 5/4

luciano

Imaginando que !z! seja o valor absoluto de z temos a seguinte resposta:

|z| é um número real, e vamos chamar z=a+bi, destet modo temos

|z|+a+bi=(|z|+a)+bi=2+i igualando os termos real e imaginario na igualdade temos

|z|+a=2 e b=1, então resta calcular o valor de a. Sabemos que |z|=raiz quadrada de (a²+b²) então temos |z|=2-a aplicando o quadrado dos dois lados da equação temos (a²+b²)=(2-a)²=4-4a+a²

mas b=1 como ja vimos e então como temos a² dos dois lado a equação anterior fica 1=4-4a

logo a=3/4 e assim então o z=(3/4)+1i.

Observe que |z|=raiz quadrada de (9/16)+1=raiz quadrada de 25/16=(5/4) então fica

|z|+z=(5/4)+(3/4)+1i=(8/4)+1i=2+i. O valor negativo da raiz -(5/4) não da certo.

roger

Observações:

1) z = a+bi ----->IzI = √(a²+b²)

2)Se dois números complexos são iguais, então suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias também são iguais: z' = z" --> a+bi = c+di ---> a = c e b=d)

IzI+z=2+i

z = 2-IzI +i

a+bi = 2-IzI +i---> da observação 2 temos:

a= 2-IzI ---> parte real

b = 1----> parte imaginária

a= 2-IzI

a-2 = -IzI ---->elevando os dois membros ao quadrado temos:

(a-2)² = (-IzI)²

a²-4a+4 = IzI²

a²-4a+4 = (√a²+b²)²

a²-4a+4 = a²+b²

a²-4a+4 = a²+ 1

a²-a² -4a = 1-4

-4a =-3

a = -3/-4

a = 3/4

Logo:

z = 3/4 + i

IzI = √((3/4)²+ 1²)

IzI = √(9/16+1)

IzI = √(25/16

IzI = 5/4