Demonstrar a identidade ∫∫(∂u²/∂x² +∂u²/∂y² )dxdy = ∫(∂u/∂x) ds, alguém pode me ajudar?

Demonstrar a identidade ∫∫(∂u²/∂x² +∂u²/∂y² )dxdy = ∫(∂u/∂x) ds , onde c é um contorno que limita o domínio D e ∂u/∂x uma derivada segundo a direção da normal exterior. (obs: o c está no [limite inferior da segunda integral e o D no limite inferior da integral dupla, é que não consegui escrevê-los! uauhuhahuahua)

Comments

  • Acho que isto pode ser visto como a particularizção do teorema da divergência de Gauss ao caso bidimensional.

    A primeira integral é ∫ L ds, onde L é o laplaciano de u e s é a área englobada por C. O laplaciano é o divergente do gradiente, de modo que esta 1a integral iguala-se a

    ∫ div grad u ds

    Na segunda integral, temos justamente a integral de grad u ao longo da curva C. (Sabemos que o gradiente é normal à curva C e orientado para fora da área englobada por C.) Assim, sua segunda integral, de linha, é o fluxo de grad u ao longo de C.

    Pelo T. da Divergência, suas duas integrais são iguais.

  • ta complikdo p/ resolver ta faltando dados

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