Demonstrar a identidade ∫∫(∂u²/∂x² +∂u²/∂y² )dxdy = ∫(∂u/∂x) ds, alguém pode me ajudar?
Demonstrar a identidade ∫∫(∂u²/∂x² +∂u²/∂y² )dxdy = ∫(∂u/∂x) ds , onde c é um contorno que limita o domínio D e ∂u/∂x uma derivada segundo a direção da normal exterior. (obs: o c está no [limite inferior da segunda integral e o D no limite inferior da integral dupla, é que não consegui escrevê-los! uauhuhahuahua)
Comments
Acho que isto pode ser visto como a particularizção do teorema da divergência de Gauss ao caso bidimensional.
A primeira integral é ∫ L ds, onde L é o laplaciano de u e s é a área englobada por C. O laplaciano é o divergente do gradiente, de modo que esta 1a integral iguala-se a
∫ div grad u ds
Na segunda integral, temos justamente a integral de grad u ao longo da curva C. (Sabemos que o gradiente é normal à curva C e orientado para fora da área englobada por C.) Assim, sua segunda integral, de linha, é o fluxo de grad u ao longo de C.
Pelo T. da Divergência, suas duas integrais são iguais.
ta complikdo p/ resolver ta faltando dados