Ajuda em matemática, questão da OBM?
Uma figura no formato de cruz, formada por quadrados de lado 1, está inscrita em um quadrado maior, cujos lados são paralelos aos lados do quadrado tracejado, cujos vértices são vértices da cruz. Qual é a área do quadrado maior?
Link da imagem: https://lh3.googleusercontent.com/PW7dEUX5-MXb6SeD...
Como resolver essa questão???
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Olá, Yuki! Blz?
Se vc observar bem, o quadrado tracejado forma, ao redor do quadrado central da cruz, 4 triângulos retângulos semelhantes. A área desses triângulos é : A = 1/2 x 2 x 1 = 1. Como são 4 triângulos que formam o quadrado tracejado, sua ´´área será: A= 4x1 + 1 = 5 (área do quadrado tracejado). Os 4 triângulos retângulos, externos ao quadrado tracejado, são semelhantes e têm um de seus vértices tocando o quadrado maior. Os catetos desses triângulos medem 1, o maior, e 1/2, o menor. Para esses triângulos valem as relações: hipotenusa/ cateto maior. Traçando uma perpendicular do quadrado tracejado até o vértice do retângulo temos a altura do triângulo, então:
(1/2)/h = base/1 ----- h.base = 1/2 . A base, que chamaremos de a é calculada por Pitágoras:
a² = 1² + (1/2)² ------ a² = 1 + 1/4 ---- a² = 5/4 ---- a = V5/2
h. V5/2 = 1/2 ------- h = 1/V5 = V5/5
O lado do quadrado maior é 2h + lado do quadrado tracejado (= V5, pois a área é igual a 5). Logo:
L = 2 x V5/5 + V5 = (2V5 + 5V5)/5 = 7V5/5
A área do triângulo maior será, portanto: A = (7V5/5)² = 49x5/25 = 49/5
Espero ter ajudado.