(ITA) Quantos números inteiros existem de 1 000 a 10 000 que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?
Vamos ver quantos números inteiros existem de 1000 a 10000:
P.A. {1000, 1001 .... 9999, 10000}
Termo geral de uma P.A.:
Ar = A1 + (n - 1)r
Onde:
Ar = último termo -> 10000
A1 = 1° termo -> 1000
n = n° de termos -> ?
r = razão -> 1
10000 = 1000 + (n - 1)1
10000 - 1000 = n - 1
9000 = n - 1
n = 9000 + 1
n = 9001
Vamos exclui os múltiplos de 5:
P.A. {1000, 1005... 9995, 10000}
10000 = 1000 + (n - 1)5
10000 - 1000 = 5n - 5
9000 + 5 = 5n
9005 = 5n
n = 9005 / 5
n = 1801
Agora com o 7:
P.A. {1001, 1008... 9996}
9996 = 1001 + (n - 1)7
9996 - 1001 = 7n - 7
8995 + 7 = 7n
9002 = 7n
n = 1286
É só tirar agora os múltiplos de 5 nos multiplos do 7:
P.A. {1015, 1050... 9975}
9975 = 1015 + (n - 1)35
9975 - 1015 = 35n - 35
8960 + 35 = 35n
8995 = 35n
n = 257
Ficando com 1286 - 257 = 1029
Juntando o de 5 com o de 7: 1029 + 1801 = 2830
Tirando do total: 9001 - 2830 = 6171
Resp.: 6171
Espero ter ajudado.
Lcs
DivisÃveis por 5 são :
1000/5=200
10000/5=2000
2000-200+1=1801 ( o +1 é porque 1000 e 10000 estão incluÃdos)
DivisÃveis por 7 são :
1000/7 â 142.8
Então o primeiro múltiplo de 7 superior a 1000 é 7x143
10000/7 â 1428.6
Então o maior múltiplo de 7 inferior a 10000 é 7x1428
1428-143+1=1286
Agora falta saber quantos são simultaneamente divisÃveis por 5 e por 7
(para retirar este número,porque nas contagens anteriores,1801 e 1286,estes foram contados duas vezes)
5 e 7 são primos entre si,ou seja, mdc (5,7) = 1
Então um número ,para ser divisÃvel por 5 e por 7,tem que ser divisÃvel por 5x7=35.
1000/35 â 28.6
Então o primeiro múltiplo de 35 superior a 1000 é 35x29
10000/35 â 285.6
Então o maior múltiplo de 35 inferior a 10000 é 35x285
285-29+1=257
1801+1286-257=2830 divisÃveis por 5 ou por 7
Ora de 1000 a 10000,inclusivé,são 10000-1000+1=9001 números
9001-2830=6171 não divisiveis nem por 5 nem por 7
Usando Progressão aritmética
nesse caso você tem que encontrar todos os múltiplos de 5, de 7 e de 35 que estão entre 1000 e 10.000.
Múltiplos de 5
a1 = 1005, an = 9995 , r = 5, n = ?
an = a1 + (n-1).r
9995 = 1005 + (n-1).5
9995 - 1005 = (n-1).5
8990/5 = n - 1
1798 = n - 1
n = 1798 + 1
n = 1799 múltiplos de 5
Múltiplos de 7 (usando o mesmo processo)
a1 = 1001, an = 9996, r = 7 e n = ?
9996 = 1001 + (n-1)7
8995/7 = n - 1
1285 + 1 = n
n = 1286 múltiplos de 7
Múltiplos de 35
a1 = 1015, an = 9975, r = 35 e n = ?
9975 = 1015 + (n-1).35
8960 /35 = n - 1
256 = n - 1
n = 257 múltiplos de 35
De 1000 até 10.000 existem:
10.000 - 1000 = 9000 números
9.000 - (1799 + 1286) + 257
9.257 - 3.085 = 5.915 números que não são divisÃveis por 5 e nem por 7.
Obs: os 257 múltiplos de 35 estão, ao mesmo tempo, no conjunto dos 1799 múltiplos de 5 e dos 1286 múltiplos de 7, por isso é que temos que somar 257 unidades, caso contrário estarÃamos retirando duas vezes os múltiplos de 35.
Comments
Vamos ver quantos números inteiros existem de 1000 a 10000:
P.A. {1000, 1001 .... 9999, 10000}
Termo geral de uma P.A.:
Ar = A1 + (n - 1)r
Onde:
Ar = último termo -> 10000
A1 = 1° termo -> 1000
n = n° de termos -> ?
r = razão -> 1
Ar = A1 + (n - 1)r
10000 = 1000 + (n - 1)1
10000 - 1000 = n - 1
9000 = n - 1
n = 9000 + 1
n = 9001
Vamos exclui os múltiplos de 5:
P.A. {1000, 1005... 9995, 10000}
Ar = A1 + (n - 1)r
10000 = 1000 + (n - 1)5
10000 - 1000 = 5n - 5
9000 + 5 = 5n
9005 = 5n
n = 9005 / 5
n = 1801
Agora com o 7:
P.A. {1001, 1008... 9996}
Ar = A1 + (n - 1)r
9996 = 1001 + (n - 1)7
9996 - 1001 = 7n - 7
8995 + 7 = 7n
9002 = 7n
n = 1286
É só tirar agora os múltiplos de 5 nos multiplos do 7:
P.A. {1015, 1050... 9975}
Ar = A1 + (n - 1)r
9975 = 1015 + (n - 1)35
9975 - 1015 = 35n - 35
8960 + 35 = 35n
8995 = 35n
n = 257
Ficando com 1286 - 257 = 1029
Juntando o de 5 com o de 7: 1029 + 1801 = 2830
Tirando do total: 9001 - 2830 = 6171
Resp.: 6171
Espero ter ajudado.
Lcs
DivisÃveis por 5 são :
1000/5=200
10000/5=2000
2000-200+1=1801 ( o +1 é porque 1000 e 10000 estão incluÃdos)
DivisÃveis por 7 são :
1000/7 â 142.8
Então o primeiro múltiplo de 7 superior a 1000 é 7x143
10000/7 â 1428.6
Então o maior múltiplo de 7 inferior a 10000 é 7x1428
1428-143+1=1286
Agora falta saber quantos são simultaneamente divisÃveis por 5 e por 7
(para retirar este número,porque nas contagens anteriores,1801 e 1286,estes foram contados duas vezes)
5 e 7 são primos entre si,ou seja, mdc (5,7) = 1
Então um número ,para ser divisÃvel por 5 e por 7,tem que ser divisÃvel por 5x7=35.
1000/35 â 28.6
Então o primeiro múltiplo de 35 superior a 1000 é 35x29
10000/35 â 285.6
Então o maior múltiplo de 35 inferior a 10000 é 35x285
285-29+1=257
1801+1286-257=2830 divisÃveis por 5 ou por 7
Ora de 1000 a 10000,inclusivé,são 10000-1000+1=9001 números
9001-2830=6171 não divisiveis nem por 5 nem por 7
Usando Progressão aritmética
nesse caso você tem que encontrar todos os múltiplos de 5, de 7 e de 35 que estão entre 1000 e 10.000.
Múltiplos de 5
a1 = 1005, an = 9995 , r = 5, n = ?
an = a1 + (n-1).r
9995 = 1005 + (n-1).5
9995 - 1005 = (n-1).5
8990/5 = n - 1
1798 = n - 1
n = 1798 + 1
n = 1799 múltiplos de 5
Múltiplos de 7 (usando o mesmo processo)
a1 = 1001, an = 9996, r = 7 e n = ?
9996 = 1001 + (n-1)7
8995/7 = n - 1
1285 + 1 = n
n = 1286 múltiplos de 7
Múltiplos de 35
a1 = 1015, an = 9975, r = 35 e n = ?
9975 = 1015 + (n-1).35
8960 /35 = n - 1
256 = n - 1
n = 257 múltiplos de 35
De 1000 até 10.000 existem:
10.000 - 1000 = 9000 números
9.000 - (1799 + 1286) + 257
9.257 - 3.085 = 5.915 números que não são divisÃveis por 5 e nem por 7.
Obs: os 257 múltiplos de 35 estão, ao mesmo tempo, no conjunto dos 1799 múltiplos de 5 e dos 1286 múltiplos de 7, por isso é que temos que somar 257 unidades, caso contrário estarÃamos retirando duas vezes os múltiplos de 35.