¿ayuda por favor con este problema de matematica?
Sea la recta r de nida por
x = 1
x + y = 0
y sean los planos , de ecuacion x + y + z = 0, y 2, de ecuacion y + z = 0. Halla la recta contenida en
el plano 1, que es paralela al plano 2 y que corta a la recta r.
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Hola.
Si los planos que definen la recta r son x = 1, x + y = 0 entonces sobre esta recta se tiene y = -x = -1 y por consiguiente, sus ecuaciones paramétricas son
x = 1, y = -1, z = t
donde t ∈ ℝ. Ahora, queremos hallar una recta s contenida en el plano x + y + z = 0 que corta a la recta r; pero si la recta s corta a la recta r, lo hará en aquél punto donde la recta r corta al plano que contiene a s, es decir, el plano x + y + z = 0. Por consiguiente hallamos primero ese punto de corte reemplazando las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano, con lo que obtendremos
-1 - 1 + t = 0.
y por consiguiente, t = 2. De este modo, el punto de corte es (1, -1, 2). Queremos entonces una recta que pasa por el punto (1, -1, 2), está contenida en el plano x + y + z = 0, y es paralela al plano y + z = 0. Pero entonces, su vector dirección es un vector ortogonal a los vectores normales de los planos x + y + z = 0, y + z = 0; esto es, ortogonal a los vectores <1, 1, 1> y <1, 1, 0>. Pero se puede verificar fácilmente mediante producto punto que un vector ortogonal a los dos vectores al tiempo es <1, -1, 0>. Entonces la recta que queremos, es la recta que pasa por (1, -1, 2) y tiene vector dirección <1, -1, 0>. Ésta es la recta con ecuaciones paramétricas
x = 1 + t,
y = -1 - t,
z = 0,
o si lo prefieres, la recta con ecuaciones cartesianas x + 1 = -y - 1, z = 0.
Saludos.