Hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles...?
Essa é a segunda e última vez que faço essa pergunta (será que não há ser humano conhecedor das ciências exatas que resolva essa questão de concurso?):
"Se a área de um triângulo retângulo isósceles é 'S' e o perímetro é '2p', sua hipotenusa pode ser expressa por:"
a ( ) 1 + 2√2 b ( ) 3 + √2 c ( ) 2 + 3√2 d ( ) 3 + 2√2 e ( ) 1 + 3√2
OBSERVAÇÃO: APENAS UMA É A ALTERNATIVA CORRETA.
ATENÇÃO: Elabore o desenvolvimento dos cálculos como se as alternativas "a", "b", "c", "d", e "e" fornecidas não existissem, parta do enunciado da questão e não das alternativas. Para a resolução de qualquer questão de matemática, é preciso partir do enunciado e não usar as alternativas do gabarito como base para resposta. Se o enunciado não tem informações suficientes para a resolução da questão, independentemente das alternativas fornecidas, então a questão é passível de anulação por falta de informações necessárias para a sua resolução. Você deve chegar na alternativa correta partindo do enunciado.
A "Melhor Resposta" e que também receberá 5 estrelinhas será a primeira que mostrar a resolução completa e com a resposta correta. Sem resolução, nada de melhor resposta e nada de estrelinhas, mesmo que a resposta esteja correta. Afinal, o gabarito é fácil de achar na net...
Comments
Vou te mostrar que não existe uma alternativa correta...
Se o triangulo é retangulo isosceles, então os catetos são iguais e valem x
Por pitágoras a hipotenusa vale x√2
Então os lados são: x, x, x√2
Vou só trocar a variavel x√2 por w...então os lados vao ficar: w/√2, w/√2, w
Se a hipotenusa valer u, por exemplo, os lados vao medir u/√2, u/√2, u
Agora se a hipotenusa valer s, s ≠ u, os lados vão medir s/√2, s/√2, s
Logo temos dois triangulos retangulos isosceles, um com hipotenusa "u" e o outro com hipotenusa "s".
Os dois obedecem à afirmação: "tem área S e perímetro 2p"
E portanto existiriam ao menos dois triangulos (na verdade infinitos), que são retangulos isosceles e obedecem a afirmativa "tem área S e perímetro 2p".
Por isso não há somente uma alternativa correta. Todas as alternativas estão corretas na verdade....
Se vc pegar qualquer uma das hipotenusas do enunciado e dividi-la por √2 vc encontra os respectivos catetos..
Só te provando:
Para hipotenusa 1 + 2√2, temos catetos 1/√2 + 2, area S, perimetro 2p
Para hipotenusa 3 + √2, temos catetos 3/√2 + 1, area S, perimetro 2p
Para hipotenusa 2 + 3√2, temos catetos 2/√2 + 3, area S, perimetro 2p
Para hipotenusa 3 + 2√2, temos catetos 3/√2 + 2, area S, perimetro 2p
Para hipotenusa 1 + 3√2, temos catetos 1/√2 + 3, area S, perimetro 2p.
E logo todas as alternativas obedecem ao enunciado...
Todas as 5 hipotenusas podem ser hipotenusas de triangulos retangulos isosceles de area S e perimetro 2p.
Acredito que tenha faltado alguma informação numérica no enunciado da questão...
Se tivesse sido fornecido o perimetro ou a área, aí sim teriamos como calcular....pois se damos um valor numérico ao negócio deixamos de ter infinitas possibilidades de hipotenusas....
Exemplo: Imagina que o problema é o mesmo... só que o perímetro é 2 + √2....
Ora o perímetro será:
x + x + x√2 = 2 + √2
2x + x√2 = 2 + √2
x(2 + √2) = 2 + √2
x = 1
E a hipotenusa será 1√2 = √2.
Viu? Só conseguimos um valor fixo para a hipotenusa se damos valores númericos no enunciado da questão.
Termos genéricos com area 'S' e perimetro '2p' dificilmente vão te permitir chegar numa resposta numérica, como a do seu exercicio.....
Eu te mostrei isso no começo:
Se vc tomar hipotenusa 's' ou 'u', vc vai ver que ambas satisfazem o enunciado, mas os triangulos são diferentes, de modo que vc não tem uma hipotenusa unica e fixa.
Se quiser extender a idéia, faça hipotenusas s,t,k,l,h,n,m,d,c....
Com s ≠ t ≠ k ≠ l ≠ h ≠ n ≠ m ≠ d ≠ c ....
Todos esses triangulos, com hipotenusas diferentes, obedecem à condição do enunciado....isso pois a condição é muito genérica... sem valores numéricos.
Solução:Se o triângulo é retângulo e isóscele vamos denominar a hipotenusa por a e os catetos b e c por L=b=c. O triângulo isóscele possui 2 lados iguais e um terceiro chamado base que neste caso é a hipotenusa.O perímetro representado por 2.p = 2 -> a + b + c = 2 -> a + L + L = 2 e tiramos a + 2.L = 2 (a million). Sabemos que no triângulo retângulo existe a seguinte relação a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 (teorema de Pitágoras) -> a ^ 2 = L ^ 2 + L ^ 2 -> a ^ 2 = 2.L ^ 2 (2). Vamos tirar o valor de L da equação (a million), 2.L = 2 - a e isolando o L = (2 - a) / 2.Substituíndo este valor na equação (2), a ^ 2 = 2. Obs:O problema não está resolvido. Este triângulo NÃO existe.
h : hipotenusa
x: cateto
h² = x² + x² = 2x²
vamos colocar x sobre a forma a + b√2
x² = (a + b√2)² = a² + 2b² + 2ab√2
2x² = 2a² + 4b² + 4ab√2
a) (1 + 2√2)² = 1 + 8 + 4√2 = 9 + 4√2
b) (3 + √2)² = 9 + 2 + 6√2 = 11 + 6√2
c) (2 + 3√2)² = 4 + 18 + 12√2 = 22 + 12√2
d) (3 + 2√2)² = 9 + 8 + 12√2 = 17 + 12√2
e) (1 + 3√2)² = 1 + 18 + 6√2 = 19 + 6√2
a)
2a² + 4b² = 9
ab = 1
a = 2
b = 1/2
x = a + b√2 = 2 + √2/2
x² = 4 + 1/2 + 2√2
h² = 2x² = 9 + 4√2
b)
2a² + 4b² = 11
4ab = 6
a = 1
b = 3/2
x = a + b√2 = 1 + 3√2/2
x² = 1 + 9/2 + 3√2
h² = 2x² = 11 + 6√2
c)
2a² + 4b² = 22
4ab = 12
a = 3
b = 1
x = a + b√2 = 3 + √2
x² = 9 + 2 + 6√2 = 11 + 6√2
h² = 2x² = 22 + 12√2
d)
2a² + 4b² = 17
4ab = 12
a = 2
b = 3/2
x = a + b√2 = 2 + 3√2/2
x² = 4 + 9/2 + 6√2
h² = 2x² = 17 + 12√2
e)
2a² + 4b² = 19
4ab = 6
a = 3
b = 1/2
x = 3 + √2/2
x² = 9 + 1/2 + 3√2
h² = 2x² = 19 + 6√2
portanto as opções a) b) c) d) e) são hipotenusa de um triangulo retângulo isósceles