Utilizando integración por partes...
Hola
Aplicando Metodo de integracion POR PARTES
∫u.dv = uv - ∫v.du
∫m.ds = ms - ∫s.dm
Tu Ejercicio
∫e^x.Senx.dx ***
Haces
u = e^x ..............dv = Senx.dx
derivas...............antiderivada
du = e^x.dx...........v = - Cosx
Aplicas y Reemplazas en ***
= - e^x.Cosx - ∫- e^x.Cosx.dx
Sacas el signo
= - e^x.Cosx + ∫e^x.Cosx.dx ****
Hacemos nuevamente por partes en la 2da Integral
m = e^x ................ds = Cosx.dx
derivas..................antiderivada
dm = e^x.dx..........s = Senx
Aplicas y Reemplazas en ****
∫e^x.Senx.dx = - e^x.Cosx + e^x.Senx - ∫e^x.Senx.dx
para que se cancelen, Como se repetio el integrado nuevamente, sumas a ambos miembros el ultimo integrado
∫e^x.Senx.dx + ∫e^x.Senx.dx = - e^x.Cosx + e^x.Senx - ∫e^x.Senx.dx + ∫e^x.Senx.dx
Reduces y cancelas positiva y negativa
2∫e^x.Senx.dx = - e^x.Cosx + e^x.Senx
ordenamos, el orden de los sumando no altera
2∫e^x.Senx.dx = e^x.Senx - e^x.Cosx
Pasas el 2 a dividir y factorizas e^x
...........................1
∫e^x.Senx.dx = ---- e^x( e^x.Senx - e^x.Cosx)
...........................2
Suerte
debes aplicar dos veces por partes,
1° Aplicación de método por partes: u = sen x, entonces du = cos x dx
dv = e^x dx, entonces v = e^x
Después de aplicar por primera vez el método, te queda otra ontegral a resolver donde volves a aplicar el método:
2° Aplicación de método por partes: u = cos x, entonces du = -sen x dx
Así queda resuelto:
∫sen x . e^x dx = sen x . e^x - ∫cos x . e^x dx = (después de aplicar el método por primera vez)
= sen x . e^x - (cos x . e^x - ∫-sen x . e^x dx ) (después de volver a aplicar el método)
= sen x . e^x - cos x . e^x - ∫ sen x . e^x dx
Como verás la integral que querés resolver se repite, entonces la pasas al otro lado de la igualdad sumando, te queda
∫sen x . e^x dx + ∫ sen x . e^x dx = sen x . e^x - cos x . e^x
2∫sen x . e^x dx = sen x . e^x - cos x . e^x
∫sen x . e^x dx = 1/2 . (sen x . e^x - cos x . e^x) + C
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Hola
Aplicando Metodo de integracion POR PARTES
∫u.dv = uv - ∫v.du
∫m.ds = ms - ∫s.dm
Tu Ejercicio
∫e^x.Senx.dx ***
Haces
u = e^x ..............dv = Senx.dx
derivas...............antiderivada
du = e^x.dx...........v = - Cosx
Aplicas y Reemplazas en ***
= - e^x.Cosx - ∫- e^x.Cosx.dx
Sacas el signo
= - e^x.Cosx + ∫e^x.Cosx.dx ****
Hacemos nuevamente por partes en la 2da Integral
Haces
m = e^x ................ds = Cosx.dx
derivas..................antiderivada
dm = e^x.dx..........s = Senx
Aplicas y Reemplazas en ****
∫e^x.Senx.dx = - e^x.Cosx + e^x.Senx - ∫e^x.Senx.dx
para que se cancelen, Como se repetio el integrado nuevamente, sumas a ambos miembros el ultimo integrado
∫e^x.Senx.dx + ∫e^x.Senx.dx = - e^x.Cosx + e^x.Senx - ∫e^x.Senx.dx + ∫e^x.Senx.dx
Reduces y cancelas positiva y negativa
2∫e^x.Senx.dx = - e^x.Cosx + e^x.Senx
ordenamos, el orden de los sumando no altera
2∫e^x.Senx.dx = e^x.Senx - e^x.Cosx
Pasas el 2 a dividir y factorizas e^x
...........................1
∫e^x.Senx.dx = ---- e^x( e^x.Senx - e^x.Cosx)
...........................2
Suerte
debes aplicar dos veces por partes,
1° Aplicación de método por partes: u = sen x, entonces du = cos x dx
dv = e^x dx, entonces v = e^x
Después de aplicar por primera vez el método, te queda otra ontegral a resolver donde volves a aplicar el método:
2° Aplicación de método por partes: u = cos x, entonces du = -sen x dx
dv = e^x dx, entonces v = e^x
Así queda resuelto:
∫sen x . e^x dx = sen x . e^x - ∫cos x . e^x dx = (después de aplicar el método por primera vez)
= sen x . e^x - (cos x . e^x - ∫-sen x . e^x dx ) (después de volver a aplicar el método)
= sen x . e^x - cos x . e^x - ∫ sen x . e^x dx
Como verás la integral que querés resolver se repite, entonces la pasas al otro lado de la igualdad sumando, te queda
∫sen x . e^x dx + ∫ sen x . e^x dx = sen x . e^x - cos x . e^x
2∫sen x . e^x dx = sen x . e^x - cos x . e^x
∫sen x . e^x dx = 1/2 . (sen x . e^x - cos x . e^x) + C