¿fisica cimematica utilizando derivadadas e integrakes?
se ha establecido experimentalmente que el valor absoluto de la deceleracion en m/s^2 es de 0.0033v^2 donde v se expresa en m/s. Si el proyectil se abandona partiendo del reposo y se mantiene apuntado hacia abajo determinar su velocidad tras haber caído 150m.
he utilizado que a=dv/dt para calcular v(t) pero al ser la velocidad inicial 0 no se como hacerlo...
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Cuando un cuerpo cae en el aire recibe una fuerza de resistencia. La ecuación dinámica de este movimiento es:
m.g - Fr = m.a, luego la aceleración de caída es:
a = g - Fr/m
En el ejemplo que planteas: Fr/m = 0,0033.v^2
a = dv/dt, mediante un artificio, eliminamos el tiempo de las ecuaciones:
a = dv/dt.dx/dx = dx/dt.dv/dx = v.dv/dx
Reemplazando: v.dv/dx = g - k.v^2 (para simplificar 0,0033 = k; además omito las unidades)
Es una ecuación diferencial de variables separables:
Reordenado: dx = v.dv/[g - k.v^2]; integramos dx entre 0 y 150 m y dv ente 0 y V
int(dx, entre 0 y 150) = int[v.dv/(g - kv^2), entre 0 y V]
Para integrar utilizo un potente procesador matemático:
x = - 1/(2k) . Ln[(g - k.V^2)/g]; de esta expresión despejamos V
V = raíz{g/k.[1 - e^(- 2x.k)]}
V = raíz{9,8/0,0033[1 - e^(- 2 . 150 . 0,0033)]} = 43,2 m/s
Una aclaración: si el cuerpo cayera desde una altura suficientemente grande, el factor e^(-2.x.k) tiende a cero y resulta lo que se llama velocidad terminal o velocidad límite para este caso:
Vl = raíz(9,8/0,0033) = 54,5 m/s.
Para terminar, un análisis de las unidades:
a = k.v^2: Para que resulte m/s^2, el factor k debe expresarse en 1/m
Esto es lógico porque e debe estar elevado a un número real adimensional: k.x es adimensional
Luego g/k se mide en m/s^2/(1/m) = (m/s)^2; nos queda todo correctamente expresado.
La raíz de esta última expresión es unidad de velocidad.
Creo que está bien. Revisa por si hay errores.
Espero que te sirva. Saludos
Esto se calcula de la siguiente manera:
caÃda de un cuerpo libre considerando la resistencia del aire.
Hay dos casos
1) cuando la resistencia es proporcional a la velocidad
2) cuando la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad,
el problema tuyo aunque digas lo contrario está incluido en el 1º caso ya que el proyectil por sus caracterÃsticas ofrece muy poca resistencia en el aire.
la ecuación que representa el 1º caso es:
dv/dt + Kv/m = g; donde
R es la resistencia del aire y su valor es: R = kv;
calculando esta ecuación diferencial llegamos a
V(t)= (m*g)/k [1-e^(-kt/m) ]; si hacemos t = â; la velocidad final seria Vf = (m*g)/k ; si lo que se tiene que buscar es el tiempo then:
t= Ln [mg/(mg-kv)]^(m/k); en caso de que se tenga que calcular el espacio recorrido, then:
y = mg/k â«_0^Tâ(1-e^(-kt/m) ) ; cuya solución ambigua seria:
y = mg/k [T-m/k (1-e^(-kT/m) ) ] â e = m/k [Tg-V(T)];
si hubiera de calcularse T en función del espacio o altura entonces tendrÃamos que echar mano de la tabla en EXCEL o similar.ç
2º caso).-
la ecuación a resolver es la misma solo que el segundo sumando del 1º término seria:
R = kgv².
su solución es:
V(t ) = 1/α • (e^2αgt- 1)/(e^2αgt+ 1) ; donde α² = K/m
y(t) = 1/α²g • Ln (cosec αgt)