Por favor preciso saber tudo sobre derivadas e suas aplicações, alguem pode me dar algumas dicas?

Como encontrar os extremos de uma função e sua derivada, como encontrar os pontos de máximos e minimos?

Comments

  • Para encontrar os pontos máximos e mínimos basta derivar a equação uma vez, e igualar f(x) a zero ( f(x) = 0).

    Exemplos:

    f(x) = 12x³ - x

    Derivando a função, temos:

    0 = 36x² - 1

    - 36x² = - 1

    x² = (- 1) / (- 36)

    x² = 1/36

    x = ± 1/6

    Portanto, os pontos são:

    x' = - 1/6

    x" = 1/6

    f(x) = x² - 6x + 6

    Derivando a função, temos:

    0 = 2x - 6

    6 = 2x

    2x = 6

    x = 6/2

    x = 3

    O único ponto desta função é em x = 3.

  • Seja f(x) uma função derivável

    Para achar os pontos de máximo M e mínimo m

    faça f´(x), primeira derivada

    as raízes de f´(x)=0

    são os candidatos a M e m

    Suponha que x0 seja raiz de f ´(x)=0

    faça f ´´ (x) , segunda derivada

    substitua o valor de x0

    em f ´´(x)

    então se

    f´´(x0) < 0 , trata-se de ponto de máximo

    f ´´(x0)>0 , trata-se de ponto de mínimo

    ex

    f(x)=x³/3-3x²/2+2x

    f ´(x) =x²-3x+2

    onde

    ∆=9-8=1

    x=(3+-1)/2

    x=2

    x=1

    logo

    f ´´(x)=2x-3

    e

    f ´´(2)=4-3=1> 0 , ponto de mínimo

    e

    f ´´(1)=2-3= - 1 < 0 , ponto de maximo

    para saber o valor de y=f(x)

    levavos x=2 e x=1 para

    f(x)=x³/3-3x²/2+2x

    então

    f(2)=2/3 ............... m ( 2 , 2/3 )

    f(1)=5/6 ............... M ( 1 , 5/6 )

  • Bom, TUDO sobre derivadas, é muita pretensão mesmo.

    Bom pegar algum livro clássico, Lages Lima, Apóstol, Piskunov, por exemplo.

    Em quanto ao tema de extremos.

    Supondo que temos y = f(x) e f é derivável (e pelo tanto contínua), e ela está definida num intervalo fechado, os máximos e mínimos podem estar nos extremos do intervalo, ou em su interior. Caso estejam no interior, se x0 é um extremo relativo, a derivada vai ter um sinal a esquerda e outro a direita. Como a função é derivavel, então a derivada em x0 se anula..

    Pelo tanto, para encontrar os extremos duma funçao num intervalo fechado, temos que procurar os pontos em que a derivada se anula como candidatos. Caso a derivada troque de signo neles, são extremos relativos.

    Os candidatos a extremos absolutos são os extremos relativos e os valores obtidos nos extremos do intervalo (caso seja fechado)

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