Questão de equação de segundo grau?
(UFMG) Considere a equação do segundo grau em x, x^2 - (m-2)x +m + 2 = 0. Pode-se que o conjunto de todos os valores de m, para os quais a diferença entre as raízes da equação seja 4, é:
a){2}
b){10}
c){-2,10}
d){-2,2}
e){2,10}
me ajudem por favor, bjs mel
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A diferença entre as raízes é √Δ. No final vou te provar esta relação.
Se √Δ = 4 => (√Δ) ² = 4 ² => Δ = 16
Δ = b ² - 4ac = (m - 2) ² - 4(m + 2) = m ² - 4m + 4 - 4m - 8 = m ² - 8m - 4
Como Δ = 16 então,
m ² - 8m - 4 = 16
m ² - 8m - 4 - 16 = 0
m ² - 8m - 20 = 0
Agora aplique Báskara e calcule m,
Δ = (-8) ² - 4(1)(20) = 64 + 80 = 144
m = (8 ± √144)/2
m = (8 ± 12)/2
m ' = (8 + 12)/2 = 20/2 = 10
m " = (8 - 12)/2 = - 4/2 = - 2
Solução: {-2; 10} => alternativa (c)
Para provar que a diferença entre as raízes é √Δ faça o seguinte, { É provável que você tenha a dedução desta fórmula em seu livro/apostila}
Usando Báskara,
x = (- b ± √Δ)/2a
x ' = ( - b + √Δ)/2a
x " = (- b - √Δ)/2a
x ' - x " = [(- b + √Δ)/2a] - [( - b - √Δ)/2a]
Como o denominador no 2º membro é o mesmo,
x ' - x " = [- b + √Δ - ( - b - √Δ)]/2a
x ' - x " = ( - b + √Δ + b + √Δ)/2a
x ' - x " = (√Δ + √Δ)/2a
x ' - x " = 2√Δ/2a
x ' - x " = √Δ/a
Como na sua equação " a " (coeficiente do termo x ²) = 1 então,
x ' - x " = √Δ/1
x ' - x " = √Δ