progressão geométrica - matemática?
Sabe-se que a sequência (1/3, a, 27), na qual a>0, é uma progressão geométrica e a sequência (x, y, z), na qual x+y+z=15, é uma prigressão aritmética. Se as duas progressões têm razões iguais, então:
a) x= -4
b) y= 6
c) z= 12
d) x= 2y
e) y= 3x
assinalando a resposta correta, responda o porque dela.
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R:(A)
Seja k a constante das progressões:
(1/3).k=a
(k/3)k=27
k²/3=27
k²=81
k=9 (Já que a>0)
a=(1/3)9=3
x+y+z=15
x+k=y => x+9=y
(x+9)+k=z => x+9+9=z => x+18=z
Substituindo
x+(x+9)+(x+18)=15
3x+27=15
3x=-12
x=-4
R: a)
Bem na primeira sequência podemos determinar o termo central da sequência e consequentemente a razão.
a = â1/3 . 27
a = â27/3
a = â9
a = 3
Determinando a razão da primeira da PG encontramos também a razão da PA.
(1/3, 3, 27)
q = a3/a2
q = 27/3
q = 9
Agora vamos representar os termos da PA em função da razão r = 9
x = x
y = x + 9
z = (x + 9) + 9 = x + 18
Logo temos que:
x + y + z = 15
x + x + 9 + x + 18 = 15
3x + 27 = 15
3x = 15 - 27
3x = - 12
x = - 12/3
x = - 4
Calculando y e z temos;
y = x + 9 = - 4 + 9 = 5
z = x + 18 = - 4 + 18 = 14
Logo temos:
x = -4
y = 5
z = 14
Resposta: alternativa a) x = -4
Espero ter ajudado,
Oliver
PG:(1/3,a,27)
27=a.q
a=q/3
27=(q^2)/3
q^2=81
q=9
PA:(x,y,z)
razão r=q=9
x+y+z=15
y=x+9
z=y+9=x+18
x+(x+9)+(x+18)=15
3.x+27=15
x=-4
resposta a) x=-4
A alternativa correta é a) x=-4
1/3 * q =a
a*q = 27
Portanto 1/3*q * q = 27 ou q^2 = 81 Donde q=9
Na PA, y=5 x=5-q = x-9=-4
Eu acho que é x=2y boa sorte