¿Cómo resolver problemas de vectores?
Ayúdenme a resolver este par de ejercicios por favor, son más, pero el resto es igual a estos:
a) Dados los puntos A(0, -3, -2), B(-5,0,4), C(x,y,z) > Determina las coordenadas de C para que el vector BC sea paralelo a AB , del mismo sentido y tenga la mitad de su módulo
b) La resultante de cuatro fuerzas es una fuerza de 100N, cuya dirección forma con el semieje OX positivo un ángulo de 225°. Tres de las cuatro fuerzas tienen por norma 20N, 30N y 40N y forman angulos de 45°, 135° y 315° respectivamente con el semieje positivo OX. Determine las componentes, la norma y la dirección de la cuarta fuerza.
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A ver primero debes aceptar ser mi novia; supondré que aceptaste así es que pasare a resolver los problemas:
a ) El vector BC es:
BC = (x,y,z) - (-5,0,4) = ( x + 5 , y, z - 4 )
El vector AB es :
AB = (-5,0,4) - (0, -3, -2) = ( - 5, 3, 6 )
Dos vectores son paralelos si cualquiera de ellos se obtiene del otro al multiplicarlo por un escalar, en este caso se pide que el vector BC sea paralelo al vector AB, por lo tanto quiere decir que el resultado de multiplicar al vector AB por un número real ( escalar ) se debe obtener el vector BC, y como el vector BC debe tener el mismo sentido ( la cabeza de la flecha de los vectores apuntan al mismo punto ) entonces este número real debe ser positivo, y como además la magnitud ( módulo o tamaño de la flecha ) del vector BC debe ser la mitad del vector AB entonces quiere decir que este número real debe ser 1 / 2 por lo tanto se tiene:
1 / 2( - 5, 3, 6 ) = ( x + 5 , y, z - 4 )
( 5 / 2 , 3 / 2 , 3 ) = ( x + 5 , y, z - 4 )
Para que 2 vectores sean iguales las componentes ( coordenadas ) de ambos deben ser iguales:
x + 5 = 5 / 2
y = 3 / 2
z - 4 = 3
De aquí se obtiene:
x = - 5 / 2
y = 3 / 2
z = 7
b) Bueno en este problema no dices si están en el plano o en el espacio las fuerzas, supondré que están en el plano y resolveré de la siguiente manera:
Si se descomponen las 3 fuerzas en sus respectivas componente se tiene:
La fuerza de 20N :
x = 20cos ( 45° )
y = 20 sen ( 45° )
La fuerza de 30N forma un ángulo de 45° con el eje OX negativo, tomando en cuenta que esta localizada ene el segundo cuadrante ( esto significa que su componente "x" sera negativa y su componente "y" será positiva ) se tendrá:
x = -30cos( 45° )
y = 30sen ( 45° )
La fuerza de 40N forma un ángulo de 65° con el eje OX positivo en sentido de las manecillas del reloj ( es decir desde el eje OX hasta el vector fuerza ), tomando en cuenta que esta localizada en el cuarto cuadrante ( esto significa que su componente "x" sera positiva y su componente "y" será negativa ) se tendrá:
x = 40cos( 65° )
y = - 40sen ( 65° )
La cuarta fuerza se desconoce, por lo tanto supondré que sus componentes son simplemente ( x , y ) luego sumando componente a componente cada una de las fuerzas queda:
Las componentes "x":
Fx = 20cos ( 45° ) - 30cos( 45° ) + 40cos( 65° ) + x -----> E
Las componentes "y":
Fy = 20sen ( 45° ) + 30sen( 45° ) - 40sin( 65° ) + y ------> G
Ahora descomponiendo la fuerza resultante de 100N en sus respectivas componentes queda:
La fuerza de 100N forma un ángulo de 45° con el eje OX negativo, tomando en cuenta que esta localizada ene el tercer cuadrante ( esto significa que su componente "x" sera negativa y su componente "y" será negativa ) se tendrá:
Componente "Fx":
Fx = - 100cos ( 45° )
Componente "Fy" :
Fy = - 100 sen ( 45° )
Luego como la fuerza resultante es igual a la suma de todas la fuerzas que actúan( es decir que la fuerza resultante imprime el mismo efecto que todas las demás fuerzas juntas ) por lo tanto se tiene sustituyendo en E y en G:
- 100cos ( 45° ) = 20cos ( 45° ) - 30cos( 45° ) + 40cos( 65° ) + x
- 100 sen ( 45° ) = 20sen ( 45° ) + 30sen( 45° ) - 40sin( 65° ) + y
Despejando "x" e "y" queda:
x = - 80.54434077 N
y = - 69.81370569 N
Que son las componentes del cuarto vector. Luego la dirección del vector se encuentra mediante:
θ = arctan ( y / x ) = arctan( - 69.81370569 / - 80.54434077 ) = 40.91788083°
Como tanto la componente "x" como la componente "y" son negativas entonces se deduce que este vector esta localizado en el tercer cuadrante. El ángulo de 40.91788083° es el ángulo que forma el vector con respecto al eje OX negativo , el ángulo referido al primer cuadrante es:
θ = 180° + 40.91788083° = 220.91788083°
La norma del vector es:
R = √ ( x^2 + y^2 )
R = √ ( ( - 80.54434077 )^2 + ( - 69.81370569 )^2 ) = 106.5896070
Madara podrias ayudarme con un problema que tengo de vectores
quien me ayuda con un problema ami ?
me puede ayudar a resolver problemas si o no
Madara! ToT