Pede-se a projeção ortogonal do ponto A(2; 3) sobre a reta "r", cuja equação está abaixo:
x + 2y - 3 = 0 .
Antes veja que quando se fala em projeção ortogonal, estamos falando de retas perpendiculares.
E sabemos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares dá igual a (-1).
Então, vamos logo calcular qual é o coeficiente angular (m1) da reta dada, que é esta;
x + 2y - 3 = 0 ---- vamos isolar "y". Assim:
2y = -x + 3
y = (-x+3)/2 --- dividindo cada fator por "2", ficamos assim:
y = -x/2 + 3/2
Veja: o coeficiente angular é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y". Como você vê aí em cima, o coeficiente angular da reta "r" é (-1/2) ----(veja que (-1/2)*x = -x/2), ou seja, temos que m1 = -1/2.
Então vamos encontrar qual será o coeficiente angular da reta que é ortogonal à reta "r".
Chamando o coeficiente angular dessa reta de "m2", vamos multiplicar por "m1", que é igual a (-1/2), e que é o coeficiente angular da reta "r" e vamos igualar a (-1). Assim:
m2*(-1/2) = -1
-m2/2 = - 1 ---- multiplicando em cruz, temos:
-m2 = 2*(-1)
-m2 = -2 --- multiplicando tudo por (-1), ficamos com
m2 = 2 <--- Este é o coeficiente angular da reta "s", que é ortogonal à reta "r".
Agora vamos encontrar qual é a equação da reta "s". Como ela passa no ponto A(2; 3) e já sabemos qual é o seu coeficiente angular, que é igual a "2", temos:
y - 3 = 2*(x-2)
y - 3 = 2x - 4 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
2x - 4 - y + 3 = 0 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, temos:
2x - y - 1 = 0 <--- Esta é a equação da reta "s", que é ortogonal à reta "r", de equação x+2y-3 = 0 .
Agora vamos ver qual é o ponto em que ocorre essa ortogonalidade. Para isso, basta que resolvamos o sistema formado pelas duas retas (reta "r" e reta "s"). Assim, temos:
reta "r":
x+2y-3 = 0 --- passando o "3" para o 2º membro, ficamos com:
x + 2y = 3 . (I)
Reta "s":
2x - y - 1 = 0 ---- passando o "1" para o 2º membro, ficamos com:
2x - y = 1 . (II)
Assim, ficamos com o sistema formado pelas funções (I) e (II), que são:
x + 2y = 3 . (I)
2x - y = 1 . (II)
Vamos fazer o seguinte: vamos multiplicar a igualdade (II) por "2" e, em seguida, vamos somar, membro a membro, com a igualdade (I). Assim, temos:
x + 2y = 3 ----[esta é a igualdade (I) normal]
4x-2y = 2 ----[esta é a igualdade (II) multiplicada por 2]
----------------- somando membro a membro, temos:
5x + 0 = 5
5x = 5
x = 5/5
x = 1 <--- Este é o valor de "x'.
Agora, para encontrar o valor de "y", basta que substituamos "x" por "1" em quaisquer uma das igualdades [na igualdade (I) ou na igualdade (II)]. Vamos substituir na igualdade (I), que é esta:
x + 2y = 3 ----- substituindo "x' por "1", temos:
1 + 2y = 3
2y = 3 - 1
2y = 2
y / 2/2
y = 1.
Assim, o ponto onde se dá a ortogonalidade é o ponto:
P(1; 1).
Resumindo, temos:
Reta "s", que é ortogonal à reta "r": 2x - y - 1 = 0
Comments
Vamos lá.
Pede-se a projeção ortogonal do ponto A(2; 3) sobre a reta "r", cuja equação está abaixo:
x + 2y - 3 = 0 .
Antes veja que quando se fala em projeção ortogonal, estamos falando de retas perpendiculares.
E sabemos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares dá igual a (-1).
Então, vamos logo calcular qual é o coeficiente angular (m1) da reta dada, que é esta;
x + 2y - 3 = 0 ---- vamos isolar "y". Assim:
2y = -x + 3
y = (-x+3)/2 --- dividindo cada fator por "2", ficamos assim:
y = -x/2 + 3/2
Veja: o coeficiente angular é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y". Como você vê aí em cima, o coeficiente angular da reta "r" é (-1/2) ----(veja que (-1/2)*x = -x/2), ou seja, temos que m1 = -1/2.
Então vamos encontrar qual será o coeficiente angular da reta que é ortogonal à reta "r".
Chamando o coeficiente angular dessa reta de "m2", vamos multiplicar por "m1", que é igual a (-1/2), e que é o coeficiente angular da reta "r" e vamos igualar a (-1). Assim:
m2*(-1/2) = -1
-m2/2 = - 1 ---- multiplicando em cruz, temos:
-m2 = 2*(-1)
-m2 = -2 --- multiplicando tudo por (-1), ficamos com
m2 = 2 <--- Este é o coeficiente angular da reta "s", que é ortogonal à reta "r".
Agora vamos encontrar qual é a equação da reta "s". Como ela passa no ponto A(2; 3) e já sabemos qual é o seu coeficiente angular, que é igual a "2", temos:
y - 3 = 2*(x-2)
y - 3 = 2x - 4 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
2x - 4 - y + 3 = 0 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, temos:
2x - y - 1 = 0 <--- Esta é a equação da reta "s", que é ortogonal à reta "r", de equação x+2y-3 = 0 .
Agora vamos ver qual é o ponto em que ocorre essa ortogonalidade. Para isso, basta que resolvamos o sistema formado pelas duas retas (reta "r" e reta "s"). Assim, temos:
reta "r":
x+2y-3 = 0 --- passando o "3" para o 2º membro, ficamos com:
x + 2y = 3 . (I)
Reta "s":
2x - y - 1 = 0 ---- passando o "1" para o 2º membro, ficamos com:
2x - y = 1 . (II)
Assim, ficamos com o sistema formado pelas funções (I) e (II), que são:
x + 2y = 3 . (I)
2x - y = 1 . (II)
Vamos fazer o seguinte: vamos multiplicar a igualdade (II) por "2" e, em seguida, vamos somar, membro a membro, com a igualdade (I). Assim, temos:
x + 2y = 3 ----[esta é a igualdade (I) normal]
4x-2y = 2 ----[esta é a igualdade (II) multiplicada por 2]
----------------- somando membro a membro, temos:
5x + 0 = 5
5x = 5
x = 5/5
x = 1 <--- Este é o valor de "x'.
Agora, para encontrar o valor de "y", basta que substituamos "x" por "1" em quaisquer uma das igualdades [na igualdade (I) ou na igualdade (II)]. Vamos substituir na igualdade (I), que é esta:
x + 2y = 3 ----- substituindo "x' por "1", temos:
1 + 2y = 3
2y = 3 - 1
2y = 2
y / 2/2
y = 1.
Assim, o ponto onde se dá a ortogonalidade é o ponto:
P(1; 1).
Resumindo, temos:
Reta "s", que é ortogonal à reta "r": 2x - y - 1 = 0
Ponto onde se dá a ortogonalidade: P(1; 1).
É isso aí.
OK?
Adjemir.
Qualquer ponto da reta : P(x, (3-x)/2)
------------------------------------------------------------------------
distancia PA :
d° = (x-2)² + ((3-x)/2 -3)² = 5x²/4 -5x/2 +25/4
-----------------------------------------------------------------------
d² minimo :
derivo d² e igualo a zero :
5x/2 -5/2 = 0. . . . . .x = 1
--------------------------------------------------
Acho y :
Y = (3-x)/2 = (3-1)/2 = 1
--------------------------------------------------------
resposta :
(1, 1)
==============================
ax+by+c=0
na equacao temox como a=1; b=2; c=-3;
usando a formula a(x-2)+b(y-3)-3=0;
x-2+2y-6-3=0;
a progecao sera: x+2y-11=0.