Dos de proba!!! ¿Sí?
1>
De cada una de dos poblaciones con distribución normal, se extrae una muestra de tamaño 50. La primera tiene media 12 y desviación 1,5. La segunda tiene media 15 y desviación 3. Hallar la probabilidad que las medias muestrales difieran a lo máximo en 1 unidad.
2>
¿Cómo resolverían esto? P(|x|>a)
¿Así?
P(|x|>a)=1-P(|x|<a)
¿O así?
P(|x|>a)=P(x<-a)+P(x>a)
Donde |x|=valor absoluto de "x"
¿Cuál de los dos es el camino correcto?
¿Por qué hacerlo así y no del otro modo?
Comments
Hola...!!!, ¿traes más ejercicios interesantes de probabilidad?
Respuesta 1) -
Sean las variables aleatorias contínuas:
x₁ ∼ N(12:1,5²)
x₂ ∼ N(15:3²)
a₁: es la media aritmética muestral de x₁
a₂: es la media aritmética muestral de x₂
Función de probabilidad
a₂ - a₁ ∼ N(μ₂ - μ₁ , σ₂²/n₂+σ₁²/n₁)
sustituyendo
a₂ - a₁ ∼ N(15-12 : 1,5²/50+3²/50) = N(3 : 0,225)
Probabilidad:
P( |a₂ - a₁| ≤ 1 ) = ?
Razonamiento:
(difieran a lo MÁXIMO en 1 unidad)
escribimos a₂-a₁ ≤1 pero tambien debes considerar a₁-a₂≤1
operando la expresión a₁-a₂ ≤ 1 tenemos
a₁-a₂ ≤ 1 ⇒ -(a₁-a₂) ≥ -1 ⇒ a₂-a₁ ≥ -1
al interceptar las dos opciones mostradas
(a₂-a₁ ≥ -1) ∩ (a₂-a₁ ≤1) = -1 ≤ a₂-a₁ ≤ 1
eso por propiedades del valor absoluto es |a₂-a₁| ≤1
recordando: |a| ≤ b ⇒ a ≤ b ∩ a ≥ -b ⇒ -b ≤ a ≤ b
Cálculos
P( |a₂ - a₁| ≤ 1 ) = ?
P( |a₂ - a₁| ≤ 1 ) = P(-1 ≤ a₂-a₁ ≤ 1) = ?
tipificando
z₁ = (-1-3)/√0,225 = -8,43
z₂ = (1-3)/√0,225 = -4,22
P(-1 ≤ a₂-a₁ ≤ 1)=P(-8,46 ≤ z ≤ -4,22)=P(4,22 ≤ z ≤ 8,46) ≈ 0
Respuesta 2) -
P( | x | > a) = ?
por propiedades del valor absoluto
| x | > a ⇒ (x > a) U (x < -a)
entonces
P( | x | > a) = P[ (x > a) U (x < -a) ] = P(x > a) + P(x < -a)
Si aplicas complemento
P( | x | > a) = 1 - P( | x | ≤ a)
por propiedades del valor absoluto
| x | ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a
entonces
P( | x | > a) = 1 - P( | x | ≤ a) = 1 - P(-a ≤ x ≤ a)
Cualquiera de lo dos métodos son correctos.
NOTA: en diferencias de medias o de proporciones cuando se escribe que difiera a lo máximo, cuando mucho, no más de,..., etc. (todos indican tope SUPERIO) se utiliza; |a| ≤b. Pero si escriben que difiera como mínimo, cuando menos, no menos de,..., etc. (todos indican tope INFERIOR) se utiliza; |a| ≥ b.
Espero sea de AYUDA!!!
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2) El camino correcto es el segundo, puesto que en el 1er. caso, estás tomando también P(|x|=a). Siendo |x|=valor absoluto de "x", podemos dividir al universo de sucesos posibles en U={(|x|>a);(|x|=a);(|x|<a)}. Por definición axiomática de probabilidad, P(U)=1 y, como los sucesos son mutuamente excluyentes: P(U)=P(|x|>a) + P(|x|=a) + P(|x|<a). Luego 1-P(|x|<a)=P(|x|>a) + P(|x|=a) y esto no cumple con la igualdad planteada en el 1er. caso. En cambio, por la propia definición de valor absoluto, es visible que el 2do. camino es correcto.