é de reparar que k²+k-2 é uma parábola com concavidade voltada para cima, por este motivo k²+k-2 >= -1 para todos os valores de k∈]-∞, k²+k-2 =-1[ ∪ [k²+k-2 =-1, +∞[. Nota, k²+k-2=-1 tem duas soluções.
Para k²+k-2<=1, k∈[k²+k-2 =1,k²+k-2 =1], Nota: k²+k-2=1 tem duas soluções.
cálculo auxiliar:
k²+k-2=-1 (=) k²+k-1=0 (=) k= (-1-√5)/2 ou k= (-1+√5)/2 (=) k=-φ ou k= -1/φ
k²+k-2 =1 (=) k²+k-3 = 0 (=) k=-2 ou k=1
Ora,
k²+k-2 >= -1 e k²+k-2<=1
é proposição verdadeira para valores de k que pertencem a
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a)
Repare que
-1 <= sen(x) <= 1, como sen(x)=k²+k-2, então
-1 <= k²+k-2 <= 1
(=) k²+k-2 >= -1 e k²+k-2<=1
é de reparar que k²+k-2 é uma parábola com concavidade voltada para cima, por este motivo k²+k-2 >= -1 para todos os valores de k∈]-∞, k²+k-2 =-1[ ∪ [k²+k-2 =-1, +∞[. Nota, k²+k-2=-1 tem duas soluções.
Para k²+k-2<=1, k∈[k²+k-2 =1,k²+k-2 =1], Nota: k²+k-2=1 tem duas soluções.
cálculo auxiliar:
k²+k-2=-1 (=) k²+k-1=0 (=) k= (-1-√5)/2 ou k= (-1+√5)/2 (=) k=-φ ou k= -1/φ
k²+k-2 =1 (=) k²+k-3 = 0 (=) k=-2 ou k=1
Ora,
k²+k-2 >= -1 e k²+k-2<=1
é proposição verdadeira para valores de k que pertencem a
( ]-∞, -φ[ ∪ [-1/φ,+∞[) ∩ ([-2,1]) = ]-2, -φ[ ∪ [-1/φ,1[
ou seja k∈]-2, -φ[ ∪ [-1/φ,1[
b)
-1<=cos(x)<=1
como cos(x)=(k+2)/(4-k), então
-1<=(k+2)/(4-k)=1
(=) (k+2)/(4-k)>=-1 e (k+2)/(4-k)<=1
(=) k+2>=-4+k e k+2<=4-k
(=) 2>=-4 e k<=1
2<=4 é proposição sempre verdadeira, então k k∈]-∞,1]
Faça:
+1 ⥠senx ⥠-1
+1 ⥠cosx ⥠-1
Até!