Asíntotas verticales?
f(x) = e^(1/(x^2-6x))-3. La duda es sobre las asíntotas verticales.
El denominador del exponente se anula para 0 y 6, raíces de x^2-6x
Si x--> 0 por derecha o por izquierda lím f(x) = e^(1/(0))-3, pero hacia que infinito tiende en cada caso??.
Por el gráfico Si x --> 0 por derecha lím f(x) = e^(1/(0))-3 = -3 y si tiende por izquierda es +∞. Por qué ? Cómo me doy cuenta hacia que infinito tiende la expresión 1/(x^2-6x) ?
Y en el caso del 6, es al revés si x-->6 por derecha el límite es +∞ y si lo hace por izquierda es -3.
Comments
si tiende a infinito positivo por derecha O por izquierda, ya hay una asintota vertical. No hace falta que tienda por ambos lados.
En el caso del 0, tiende a infinito negativo por derecha y positivo por izq.
imagina un numero proximo a 0 por izq ej:
-0,000001^2 > 6.-0,000001
-0,000001 + 6.0,000001 > 0
Con el 6 tiende a negativo por izq y positivo por derecha.
imagina un numero proximo a 6 por izq ej:5,999999....
5,99999.5,99999 < 5,99999.6
5,99999^2 < 5,99999.6
5,99999^2 - 6.5,99999 < 0
Dando valores a "x" cerca de los límites, por izquierda y por derecha y viendo que valores toma f(x). Usar calculadora.
primer las verticales: (x-1)^2 =0 x-1 =0 x=1 ... asintota vertical: la horizontal debes despejar X y= 1/(x-1)^2 (x-1)^2 =1/y X-1 = raiz (1/y) x= raiz(1/y) +1 donde raiz (y) = 0 => y=0 asintota horizontal ... espero te sirva suerte.
Previamente calculemos algunos valores muy orientativos:
f(-1) = -1,8
f(1) = -2,2
f(3) = -2,1
f(5) = -2,2
f(7) = -1,8
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Como la función exponencial es monótona creciente, resulta obvio que el comportamiento de f(x) = e^[1 / (x² - 6x)] - 3 "seguirá" el comportamiento de g(x) = 1 / (x² - x). Es decir: donde "g" sea creciente "f" lo será y donde "g" sea decreciente "f" lo será.
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g ' (x) = (6 - 2x) / [x² (x - 6)²] (i)
La pregunta "clave" es: ¿ En que intervalo "g (x)" es creciente ?, o lo que es lo mismo: ¿ donde g ' (x) >= 0 ?.
La respuesta [de (i)] es: g(x) ES CRECIENTE para "x <= 3", siendo además:
g (-1) = 0,1
g (1) = -0,2
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Esta conclusión nos resuelve todo el problema. En efecto:
a) f (x) es creciente para x <=3 y decreciente para x>=3.
b) f(x) tiene una asíntota horizontal en y = -2
c) f(x) tiene asíntotas verticales en x = 0 y x = 6
d) Si g(x) tendiera a "+inf" cuando x tiende a 0 por derecha, como g (1) = -0,2, g(x) sería -en tal caso- decreciente en (0, 1]. Como ello no es cierto, g (x) tiende a "-inf" cuando x tiende a 0 por derecha y por ende: f (x) tiende a "-3".
Resumiendo: en (0, 3] f(x) es creciente variando entre (-3, -2,1].
e) Si g(x) tendiera a "-inf" cuando x tiende a 0 por izquierda, como g (-1) = 0,1, g(x) sería -en tal caso- decreciente en [-1, 0). Como ello no es cierto, g (x) tiende a "+inf" cuando x tiende a 0 por izquierda y por ende: f (x) tiende a "+inf".
Resumiendo: en [-1, 0] f(x) es creciente variando entre [-1,8, +inf).
f) Con el mismo criterio de análisis es fácil advertir que en [3, 6) f(x) es decreciente variando entre [-2,1, -3).
g) Igualmente, para "x" en (6, +inf) f(x) es decreciente variando entre (+inf, -2).
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