progressão aritmética : as medidas dos lados de um triangulo retangulo estão em PA de razão 3.quais as medidas ?
Veja:
a1=a=9
a2=a+3=12
a3=a+6=15
(a+6)²=(a+3)²+a²
a²+12a+36=a²+6a+9+a²
2a²-a²+6a-12a+9-36=0
a²-6a-27=0
a'+a"=6
a'.a"=-27
a'=-3(medida deve ser positiva)
a"=9
Logo,
As medidas são 9; 12 e 15.
Solução: Vamos denominar os três lados do triângulo retângulo por x - r, x, x + r , sendo x + r é a hipotenusa e x - r
e x são os catetos. Como a razão r = 3, podemos escrever
(x - 3), x , (x + 3). Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(x + 3) ^ 2 = x ^ 2 + (x - 3) ^ 2. Desenvolvendo os quadrados:
x ^ 2 + 6.x + 9 = x ^ 2 + x ^ 2 - 6.x + 9.Colocando os valores no 1º membro, x ^ 2 + 6.x + 9 - x ^ 2 - x ^ 2 + 6.x - 9 = 0
- x ^ 2 + 12.x = 0 -> x ^ 2 - 12.x = 0 -> x (x - 12) = 0 e finalmente x = 0 (rejeitado) e x = 12 (aceito). Os lados são,
{(12 - 3), 12, (12 + 3)} e assim os catetos b e c valem 9 e 12 e a hipotenusa a = 15.
Vou chamar cada lado de x e usar Pitágoras, se estão em PA de razão 3, então um é x, o outro é x+3, e o outro é x+6, que é o maior lado.
(x+6)²=x²+(x+3)²
x²+12x+36=x²+x²+6x+9
-x²+6x+27=0 (-1)
x²-6x-27=0
delta=36+108=144 V144=12
x=6+12/2
x=18/2=9
os lados são:9, 12, 15.
âºlados do triângulo:
cateto 1 (maior) = b
cateto 2 (menor) = c = b - 3
hipotenusa = a = b + 3
a² = b² + c²
(b + 3)² = b² + (b - 3)²
b² + 6b + 9 = b² + b² - 6b + 9
b² + 6b = 2b² - 6b
b² - 12b = 0
b (b - 12) = 0
b' = 0 (não convém)
b" = 12
logo:
cateto 1 (maior) = b = 12
cateto 2 (menor) = c = b - 3 = 9
hipotenusa = a = b + 3 = 15
As medidas são 9, 12 e 15!
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Veja:
a1=a=9
a2=a+3=12
a3=a+6=15
(a+6)²=(a+3)²+a²
a²+12a+36=a²+6a+9+a²
2a²-a²+6a-12a+9-36=0
a²-6a-27=0
a'+a"=6
a'.a"=-27
a'=-3(medida deve ser positiva)
a"=9
Logo,
As medidas são 9; 12 e 15.
Solução: Vamos denominar os três lados do triângulo retângulo por x - r, x, x + r , sendo x + r é a hipotenusa e x - r
e x são os catetos. Como a razão r = 3, podemos escrever
(x - 3), x , (x + 3). Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(x + 3) ^ 2 = x ^ 2 + (x - 3) ^ 2. Desenvolvendo os quadrados:
x ^ 2 + 6.x + 9 = x ^ 2 + x ^ 2 - 6.x + 9.Colocando os valores no 1º membro, x ^ 2 + 6.x + 9 - x ^ 2 - x ^ 2 + 6.x - 9 = 0
- x ^ 2 + 12.x = 0 -> x ^ 2 - 12.x = 0 -> x (x - 12) = 0 e finalmente x = 0 (rejeitado) e x = 12 (aceito). Os lados são,
{(12 - 3), 12, (12 + 3)} e assim os catetos b e c valem 9 e 12 e a hipotenusa a = 15.
Vou chamar cada lado de x e usar Pitágoras, se estão em PA de razão 3, então um é x, o outro é x+3, e o outro é x+6, que é o maior lado.
(x+6)²=x²+(x+3)²
x²+12x+36=x²+x²+6x+9
-x²+6x+27=0 (-1)
x²-6x-27=0
delta=36+108=144 V144=12
x=6+12/2
x=18/2=9
os lados são:9, 12, 15.
âºlados do triângulo:
cateto 1 (maior) = b
cateto 2 (menor) = c = b - 3
hipotenusa = a = b + 3
a² = b² + c²
(b + 3)² = b² + (b - 3)²
b² + 6b + 9 = b² + b² - 6b + 9
b² + 6b = 2b² - 6b
b² - 12b = 0
b (b - 12) = 0
b' = 0 (não convém)
b" = 12
logo:
cateto 1 (maior) = b = 12
cateto 2 (menor) = c = b - 3 = 9
hipotenusa = a = b + 3 = 15
As medidas são 9, 12 e 15!