Por favor, determine onde ocorre os pontos críticos de f(x).?

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  • Pela teoria das derivadas os pontos críticos ocorrem quando a 1ª derivada é zero.

    f(x) = x^4 - 2x ²

    f ' (x) = 4x ³ - 4x

    Igualando a zero essa derivada,

    4x ³ - 4x = 0

    Simplifique os termos dividindo-os por 4,

    x ³ - x = 0 {equação do 3º grau => tem 3 raízes,

    Coloque x em evidência,

    x(x ² - 1) = 0

    Fatore x ² - 1 => x ² - 1 = (x + 1)(x - 1)

    x(x + 1)(x - 1) = 0

    Cada fator igualado a zero será uma raiz,

    x ' = 0

    x + 1 = 0 => x " = - 1

    x - 1 = 0 => x "' = 1

    Os pontos críticos ocorrem quando x = -1; 0; 1 {esta é a abcissa}

    Para calcular as ordenadas use a função inicial,

    f(x) = x^4 - 2x ²

    f(-1) = (-1)^4 - 2(-1) ² = 1 - 2(1) = 1 - 2 = - 1 {esta é a ordenada},

    1º ponto = (-1; -1)

    f(0) = 0^4 - 2(0) = 0 - 0 = 0

    2º ponto = (0; 0)

    f(1) = 1^4 - 2(1) ² = 1 - 2(1) = 1 - 2 = - 1

    3º ponto = (1; - 1)

    Se precisar saber se esses pontos críticos são máximos ou mínimos calcule a 2ª derivada,

    f " (x) = 12x ² - 4

    Se o valor de f '(x) for positivo é um ponto de mínimo relativo; caso contrário é ponto de máximo relativo,

    f " (-1) = 12(-1) ² - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 {mínimo relativo}

    f " (0) = 12(0) ² - 4 = 0 - 4 = - 4 < 0 {máximo relativo}

    f " ( 1) = 12(1) ² - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 {mínimo relativo}

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