Risolvete questo problema please?
Nel trapezio isoscele ABCD le diagonali sono perpendicolari al lato obliquo. Il lato obliquo è lungo 42 cm e la sua proiezione sulla base maggiore è 25,2 cm. Determina: la lunghezza del perimetro del trapezio; l'area della parte colorata (ACD) aiutatemi!
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Se la diagonale è perpendicolare al lato obliquo il triangolo formato da una diagonale, il lato obliquo e la base maggiore è rettangolo, dunque puoi applicare Euclide e Pitagora alle misure note.
In questo caso hai un triangolo rettangolo che ha per cateti il lato obliquo (noto = 42 cm) e la diagonale (incognita) e per ipotenusa la base maggiore (incognita anch'essa).
Primo teorema di Euclide (il cateto è medio proporzionale tra la propria proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa):
proiezione : cateto = cateto : ipotenusa
ossia:
cateto² = (proiezione * ipotenusa)
siccome conosciamo sia il cateto che la proiezione, da questa formula ricaviamo l'ipotenusa:
ipotenusa = cateto² / proiezione = 42² / 25,2 = 70 cm
Siccome la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore equivale alla semidifferenza tra le basi del trapezio, puoi ricavare la base minore:
b = B - (2 x 25,2) = 70 - 50,4 = 19,6 cm
Sempre con Euclide 1.o puoi ricavare la lunghezza della diagonale, ricordando che la somma delle proiezioni deve dare l'ipotenusa:
cateto² = (proiezione * ipotenusa) = (70 - 25,2) * 70 = 3136 ===> cateto = √3136 = 56 cm
Dunque il tuo trapezio ha le seguenti dimensioni:
B = 70
b = 19,6
L = 42
D = 56
L'altezza è il cateto di un triangolo rettangolo che ha per secondo cateto la semidifferenza tra le basi e per ipotenusa il lato obliquo:
h = √42² - 25,2² = 33,6 cm
La superficie del triangolo formato da base minore, diagonale e lato obliquo è pari alla differenza tra la superficie del trapezio e quella del triangolo rettangolo formato da diagonale, lato obliquo e base maggiore, la cui altezza è l'altezza del trapezio stesso.
I calcoli li puoi fare tu.
Applichi Euclide al triangolo rettangolo con ipotenusa la base maggiore e un cateto il lato obliquo. Tale lato è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa, ossia:
detto BC il lato obliquo e HB la sua proiezione sull'ipotenusa (base maggiore) AB hai:
AB : BC = BC : HB quindi
AB*HB = BC^2 ossia
AB = BC^2 / HB = 42^2 / 25,2 = 1764 / 25,2 = 70
La base minore DC sarà uguale alla base maggiore meno due volte il valore HB:
DC = AB - 2*HB = 70 - 2*25,2 = 70 - 50,4 = 19,6
Quindi il perimetro P vale:
P = 70 + 19,6 + 2*42 = 89,6 + 84 = 173,6
Se le lettere coincidono con quanto ho scritto sopra devi calcolare l'area del trapezio e sottrarvi l'area del triangolo rettangolo ABC:
In tale triangolo le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono:
HB = 25,2 e AH = AB - HB = 70 - 25,2 = 44,8
Applicando Euclide puoi trovare l'altezza del trapezio perché nel triangolo rettangolo ABC l'altezza relativa all'ipotenusa CH è media proporzionale con le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa:
AH : CH = CH : HB ossia
44,8 : CH = CH : 25,2 da cui
CH^2 = 4,8*25,2 ossia
CH = radice(1128,06) = 33,6
Quindi l'area del trapezio è:
S = (AB + DC) * CH / 2 = (70 + 19,6) * 33,6/2 = 89,6 * 16,8 = 1505,28
L'area S1 del triangolo ABC vale:
S1 = (AB * CH) / 2 = (70 * 33,6) / 2 = 2352 / 2 = 1176
Quindi l'area S2 del triangolo ADC vale:
S2 = S - S1 = 1505,28 - 1176 = 329,28
Enjoy!