Como resolver esta integral?

Comments

• maria-descartes

  June 2021

  int(1+t²)^1/2dt

  =t/2raíz(1+t²)+

  +1/2ln(t+raíz(1+t²)+c, com

  t variando de 0,2 a 2pi.

  As tabelas de integração eu consulto no livro abaixo citado.

  .
• steiner

  June 2021

  Uma forma de fazer isso é usar substituição hiperbólica. Façamos t = senh(x). Então, pelas propriedades das funções hiperbólicas, 1 + t² = 1 + (senh(t))² = cosh²(t) e dt = cosh(x) dx. Assim, nossa integral fica

  ∫ √ cosh²(x) cosh(x) dx = ∫ cosh²(x) dx

  A integral de cosh² é conhecida. Temos que

  ∫ cosh²(x) dx = (x + senh(2x)/2)/2 + C

  Voltando a t, temos que

  x = arcsenh(t)

  senh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)

  cosh(x) = raiz(1 + senh²(x)) = raiz(1 + t²), de modo que

  senh(2x) = 2 t raiz(1 + t²)

  Temos, assim, que

  ∫ raiz(1 + t²) dt = (arcsenh(t) + t raiz(1 + t²))/2 + C

  No conjunto dos reais, temos também que

  arcsenh(t) = ln(t + raiz(1 + t²). Assim, se você preferir, pode expressar esta integral como

  ∫ raiz(1 + t²) dt = (ln(t + raiz(1 + t²)) + t raiz(1 + t²))/2 + C

  Uma outra possível saída para esta integral é por meio da substituição trigonométrica

  t = tan(x). Você vai cair na integral de sec³(x). Também dá para sair, mas, particularmente, prefiro a solução que dei.

  Ah, faltou substituir os limite.

  Para t= 0, a expressão da integral dá 0

  Para t= 2π, obtemos (ln(2π + raiz(1 + 4π²)) + 2π raiz(1 + 4π²)), que é o valor da integral definida
• lemosw

  June 2021

  ∫ √ (a+x²)dt= x( √ (a+x²))/2+a ln I x+ √ (a+x²)) I /2 +c

  ∫ √ (1+t²)dt= t( √ (1+t²))/2+ln I t+ √ (1+t²)) I /2 +c

  ∫(0,2π ) (√ (1+t²) )dt=

  2 π ( √ (1+((2π )²))/2+ln I 2π + √ (1+(2π )²)) I /2 -0=21,26

  Resp

  ∫(0,2π ) (√ (1+t²) )dt=21,26
• rodrigo-s

  June 2021

  use substibuição trigonométrica que o resultado segue facilmente....

  cqd []
• marreco

  June 2021

  infelismente não sei, mas vá emfrente que vais achar.