Matemáticas Geometría?
Me pueden explicar como resolver este problema y escribir el desarrollo para aprender
Gracias
La diferencia de las diagonales de un rombo es 2m. Si a las dos las aumentamos en 2m el área aumenta en 16 metros cuadrados. Calcule las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.
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Hola, DW...
Recuerda que para un rombo, cuya diagonal mayor es D y diagonal menor es d, se tiene...
Area = 1/2 D*d
Perímetro = 2 * Raíz ( D2 + d2 )
De manera que lo que debemos hacer es calcular las dos diagonales para luego encontrar el área y el perímetro.
Procedimiento:
1. La diferencia de las diagonales es 2m
D - d = 2 , es decir que D = d + 2 ............Ecuación (1)
2. El Area inicial del rombo es
A1 = 1/2 D * d ........................Ecuación (2)
3. Si las dos diagonales las aumentamos en 2m, el área aumenta 16 m2:
A2 = 1/2 ( D + 2 ) * ( d + 2 ) ................. Ecuación (3)
A2 = A1 + 16 ...................... Ecuación (4)
Tenemos entonces un sistema de 4 ecuaciones con cuatro incógnitas ( D, d, A1, A2 ) El sistema es consistente y lo podemos resolver para hallar D, d y A1.
Solución del Sistema de Ecuaciones:
Reemplazamos la Ecuación (2) y la Ecuación (3) en la Ecuación (4), obtenemos así...
1/2 ( D + 2 ) * ( d + 2 ) = 1/2 D * d + 16 ...... Ecuación (5)
Debemos resolver ahora el sistema de ecuaciones (1) y (5)
Reemplazamos la Ecuación (1) en la Ecuación (5):
1/2 ( d + 2 + 2 ) * ( d + 2 ) = 1/2 ( d + 2 ) * d + 16 .... Ecuación (6)
Resolvemos la Ecuación (6) para hallar d:
1/2 ( d + 4 ) * ( d + 2 ) = 1/2 ( d + 2 ) * d + 16
Multiplicamos la ecuación por 2, para eliminar denominadores...
( d + 4 ) * ( d + 2 ) = ( d + 2 ) * d + 32
d2 + 6d + 8 = d2 + 2d + 32
d2 + 6d - d2 - 2d = 32 - 8
4d = 24
d = 24 / 4
d = 6 m ..........( Solución para la diagonal menor )
Remplazando d en la Ecuación (1)
D = d + 2
D = 6 + 2
D = 8 m ......... ( Solución para la Diagonal mayor )
Remplazando D y d en la Ecuación (2)
A1 = 1/2 ( 8 m ) * ( 6 m )
A1 = 24 m2 .........( Solución para el Area )
A2 = 1/2 ( 10 m ) * ( 8 m )
A2 = 40 m2
Con esto verificamos que al aumentar cada diagonal en 2 metros, el área se aumenta en 16 m2.
Finalmente, hallamos el Perímetro del rombo...
P = 2 * Raíz ( D2 + d2 )
P = 2 Raíz ( 8 * 8 + 6 * 6 )
P = 2 * Raíz ( 100 )
P = 20 m ............ ( Solución para Perímetro )
Esa es la Solución!!
Un Abrazo!
Pereirano Bacano!
[email protected]
Planteemos el problema:
a-b=2
a·b/2+16= (a+2)(b+2)/2→a·b+32= (a+2)(b+2); calculemos
a·b+32= a·b +; →32= 2(a+b) +4; ordenemos
(a+b)=(32-4)/2→ 28/2→14;then..
a+b=14
a-b= 2
--------------
2a= 16→ a= 8; then b= 6;aumentadas: A=10 y B=8
Área del rombo= a·b/2→8*6/2= 24 m
Área del rombo aumentado= A·B→ 10*8/2= 40; prueba
24 + 16 = 40 Justa la fusta.
Perímetro: ahí le han dado;
Si denominamos l= lado del perímetro; then el perímetro seria 4l ya que los cuatro lados son iguales al ser un rombo equilátero.
then l=[(a/2)² +(b/2)²]^½; así →l=(16+ 9)^½= 5
el perímetro será P=5*4= 20 metrejos.
Para que no haya equívocos el perímetro del otro rombo será:
4*(25+16)1½= 6,40312423*4=25,6125m
Area rombo = (D1*D2)/2
Este es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas, la primera la obtienes de la diferencia de las diagonales:
D2-D1=2 ó lo que es igual: D2=D1+2
la segunda la obtienes al restarle al área cuando las diagonales aumentan 2m (A1) el área cuando las diagonales estan sin aumentar (A2), por dato del problema esto es igual a 16:
A1-A2=16, que es equivalente a
[(D2+2)(D1+2)/2] - [(D2*D1)/2] = 16
Ahora sustituyes el valor de D2 por D1+2 en esta ecuación y despues de simplificar te queda que:
D1= 6
Por lo tanto D2=8,
El lado del rombo es igual a c en el teorema de pitágoras: c^2 = D1^2+D2^2, por lo tanto el lado del rombo es igual a:
√25 = 5,
El perimetro es 20 y el área = 24
a = d.D / 2 = d. (d+2) / 2
G = (d+2).(d+4) / 2
G - a = 16 = ((d+2)/2) . (d+4-d) = (d+2).2
d+2 = 8 . . . Diagonal Mayor
d = 6 . . . diagonal menor
a = 8.6/2 = 24 . . . área
Para calcular el lado usaremos Pitágoras, tomando por catetos la mitad de las diagonales:
lado^2 = 3^2 + 4^2 = 25
lado = 5
Perímetro = 4*lado = 20
.
Llamemos D a la diagonal mayor y d a la diagonal menor.
El área es A = Dd/2
Si aumentamos las diagonales en dos tendermos la nueva área:
(D+2)(d+2)/2 = 6 + Dd/2
(Dd + 2D + 2d + 4)/2 = 6 + Dd/2
D + d + 2 = 6
Pero D = d+2 , entonces
D + D = 6 → D = 3 y d = 1
Es el valor de las diagonales; con esto ya puedes calcular el área y el perímetro.
Saludos desde Colombia
hola
Srombo = (D1*D2)/2
D1 - D2 = 2
DifSup = (1/2) [ (D1+2)(D2+2) - D1 D2 ]
= (1/2) [ 2 (D1+D2) + 4 ]
= D1 + D2 + 2
Entonces
D1 + D2 = 14
Resultado D1 = 8 ; D2 = 6
saludos
D-d=2; Area(2)=(D+2)·(d+2)=D·d+2·(D+d)+4=D·d+16 -->
D-d=2 y D+d=6 -->
Diagonales D=4m ; d=2m
Lado=√(2^2+1^2) = √5---> Perímetro= 4·√5m
Área=8 m^2
Saludos.