Derivadas urgenteeeee please?
Por favor necesito ayuda urgente.
Me mandaron a hacer estos dos ejercicios y no se como hacerlos. Si alguien sabe como hacerlos, por favor resuélvalo o me explique o coloque un enlace a otra web donde explique cómo hacerlo:
1) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:
f(x) = x² - x
en los puntos de contacto con eje de abscisas.
2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:
f(x) = x³ + 1 en los puntos (1,2)
GRACIAS DE ANTEMANO
Comments
1) Te dice que encuentres la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función cuando corta en eje x.
Para esto primero debemos averigüar cuándo corta al eje x.
f(x) = x^2 - x
Utilizamos la resolvente general:
-b +- la raíz cuadrada de b^2 -4 · a · c, todo esto sobre 2 · a, te acuerdas?
Bueno, reemplazando llegamos a la conclusión de que la función corta al eje de las abscisas en x=1 y en x=0.
Ahora como tenemos dos puntos tenemos que analizar esos dos puntos, sabemos que la pendiente de la ecuación de la recta tangente la obtenemos derivando la función, entonces la derivadal nos queda así:
f ' (x) = 2x - 1
Ahora reemplazamos por cada punto obtenido:
f ' (0) = 2 · 0 - 1
f ' (0) = -1
f ' (1) = 2 · 1 - 1
f ' (1) = 2 - 1
f ' (1) = 1
Ahora que tenemos las pendientes lo único que nos queda por hacer es, sabiendo que la ecuación de una recta es y = ax + b, reemplazar por los puntos encontrados y por la pendiente para averigüar la incógnita b y así tener las dos ecuaciones que nos piden.
-Cuando x=0:
y = ax + b
0 = (-1) · 0 + b
0 = b
-Cuando x=1
y = ax + b
0 = 1 · 1 + b
-1 = b
Ahora tenemos todo lo necesario, con todo esto construimos las dos ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos de contacto con el eje de abscisas (el eje x):
- y = -1x + 0
y = -x
- y = 1x -1
- y = x -1
2) Acá ya nos dan los puntos, entonces tenemos que derivar la función:
f ' (x) = 3x^2
Ahora reemplazamos por los puntos dados para averigüar la pendiente en el punto.
Para x=1:
f ' (1) = 3 · 1^2
f ' (1) = 3 · 1
f ' (1) = 3
Para x=2:
f ' (2) = 3 · 2^2
f ' (2) = 3 · 4
f ' (2) = 12
Ya tenemos las pendientes en los puntos, ahora tenemos que reemplazar los puntos y las pendientes en la ecucación de las rectas como hicimos en el punto 1) para averigüar el valor de b.
Para x=1:
y = ax + b
2 = 3 · 1 + b
2 - 3 = b
-1 = b
Para x=2
y = ax + b
17 = 12 · 2 + b
17 - 24 = b
-7 = b
Como ya encontramos todos los datos lo único que nos falta hacer es construir las ecuaciones, de la siguiente manera:
- y = 3x - 1
- y = 12x - 7
Espero haberte ayudado!
Saludos!