matemática: função, todo x real?
se: f: R --> R é da forma f(x) = ax + b e verifica f(f(x)) = x + 1 para todo x real, então a e b valem, respectivamente:
a) 1 e 1/2
b) -1 e 1/2
c) 1 e 2
d) 1 e -2
e) 1 e 1
o livro diz que é a letra a: 1 e 1/2
alquém poderia mostrar-me como chego nesse resultado ?
Update:f(f(x)) =a(ax+b)+b = a²x+ ab+b = x+ 1 <-->
a²=1 e ab+b=1 <-->
por que afirma que a² = 1 ? e ab + b = 1 ? por que fez assim ? não entendir ? como prova ? olhando as respostas ? alquém poderia ajudar-me ? agradeço
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A resolução é simples
temos que f(x) = ax+b e f(f(x)) = x + 1
de outro lado temos que f(f(x)) = af(x) +1 = a(ax+b) +b = a^2x +ab +b
como f(f(x) = f(f(x)), então
a^2x +ab +b = x+1
Aqui temos dois polinomios um no membro esquerdo, outro no membro direito.
só serão iguais se o coeficiente de x da esquerda for igual ao da direita e o que não tem x na esquerda for igual ao que não tem x na direita, isto é
a^2 = 1
ab +b = 1
na primeira temos a = +-1
se a = 1, então b+b = ----> 2b = 1 ----> b= 1/2
se a = -1, então -b+b = 1 ------> 0 = 1 o que é impossivel
Por isso a solução é a) a=1 e b =1/2
Acho que esta questão está incompleta, pois o livro teria que nos dar DUAS funções. para acharmos o f(f(x)).
Sendo f(x) = ax + b deve-se verificar que f(f(x)) = x + 1
o que vem a ser f(f(x)): é colocar como valor da variável o próprio f(x), ou seja, x = f(x) = ax +b
f(f(x)) = a (ax+b)+b
f (f(x)) = a² x + ab + b
queremos verificar que f(f(x)) = x + 1, que tem quociente do x igual a 1 e o termo independente também 1, então a letra que acompanha o x deve valer 1 e os termos sem x devem ser igual a também 1, pois
a² x = x <-> a² = 1 => logo a = +- 1
ab+b = 1 , se a=-1 , então -b+b = 1 (falso)
se a = 1, então b+b=1 => b= 1/2
Portanto a alternativa correta é a A, a = 1 e b=1/2
Espero ter ajudado
f(f(x)) =a(ax+b)+b = a²x+ ab+b = x+ 1 <-->
a²=1 e ab+b=1 <-->
a=1 e b(a+1)=1 --> a=1 e b=1/2 ou
a=-1 e b·0=1!!!
==> Solucao a=1 e b=1/2 (a)
Saludos