dados A(1,0), B(4,1) e C(4,y), calcule y de modo que se tenha BAC = 60º?

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• zzz

  June 2021

  Inicialmente calculamos os coeficientes angulares (m) das retas AB e AC:

  m(AB) = [y(B) - y(A)] / [x(B) - x(A)] = (1 - 0) / (4 - 1) = 1 / 3

  m(AC) = [y(C) - y(A)] / [x(C) - x(A)] = (y - 0) / (4 - 1) = y / 3

  A tangente do ângulo formado por duas retas é calculado por:

  tg(BAC) = |[m(AC) - m(AB)] / [1 + m(AC) . m(AB)]|

  Sendo BAC = 60° e tg(60°) = √3

  Substituindo os valores, a equação fica:

  tg(60°) = |[(y/3) - (1/3)] / [1 + (y/3) . (1/3)]|

  √3 = |[(y - 1)/3] / [1 + (y/9)]|

  √3 = |[(y - 1)/3] / [(y + 9)/9]|

  √3 = |(y - 1).9 / 3.(y + 9)|

  √3 = |3.(y - 1) / (y + 9)|

  i) Se y > 1: |3.(y - 1) / (y + 9)| = 3.(y - 1) / (y + 9)

  (√3)² = [3.(y - 1) / (y + 9)]²

  3 = 9.(y - 1)² / (y + 9)²

  3.(y + 9)² = 9.(y - 1)²

  y² + 18y + 81 = 3.(y² - 2y + 1)

  y² + 18y + 81 = 3y² - 6y + 3

  3y² - 6y + 3 - y² - 18y - 81 = 0

  2y² - 24y - 78 = 0 (podemos simplificar dividindo tudo por 2)

  y² - 12y - 39 = 0 (equação de 2° grau, aplicar Báskara)

  y = [- b ± √(b² - 4ac)] / 2a

  y = [12 ± √(144 + 156)] / 2

  y = (12 ± √300) / 2

  y = (12 ± 10√3) / 2

  y = 6 ± 5√3

  y' = 6 + 5√3

  y'' = 6 - 5√3

  Mas inicialmente consideramos y > 1, assim y'' é descartado.

  ii) Se y > 1: |3.(y - 1) / (y + 9)| = - 3.(y - 1) / (y + 9)

  (√3)² = [- 3.(y - 1) / (y + 9)]²

  3 = 9.(y - 1)² / (y + 9)²

  3.(y + 9)² = 9.(y - 1)²

  Caiu no mesmo caso de (i), assim os valores para y são:

  y' = 6 + 5√3

  y'' = 6 - 5√3

  Mas neste caso (ii) consideramos y < 1, assim y' é descartado.

  Então pelo caso (i) y = 6 + 5√3 e pelo caso (ii) y = 6 - 5√3.