Qual a solução da equação cotg[x+(pi/4)]=cotg[2x-(pi/2)] no conjunto dos números reais ? ?

Em IR

Update:

no conjunto dos reais.

Comments

  • A função cotangente tem período π.

    Ou seja,cotg(a+π)=cotg a

    Então,para resolveres qualquer equação cotg a=cotg b,

    fazes sempre a=b+kπ , k Є Z

    cotg[x+(π/4)]=cotg[2x-(π/2)]

    x+π/4=2x-π/2+kπ

    x-2x=-π/2+kπ-π/4

    x=3π/4-kπ , k Є Z

    O problema é que a solução a que chegámos não faz parte do domínio

    Substituindo x por 3π/4 na equação original obtemos

    cotg(3π/4+π/4)=cotg(2(3π/4)-π/2)

    cotg π =cotg π

    Mas cotg π não existe,porque sen π=0

    Então a equação não tem solução

    Nunca te esqueças que tangente e cotangente não têm domínio |R ,logo é sempre necessário verificar o domínio na resolução de qualquer equação.

    Nota : o mesmo vale para tg a=tg b , resolve-se exactamente da mesma maneira.

  • Voce faz o seguinte: substitua a cotangente por cosseno/seno.

    Depois, desenvolva as somas e as subtraçoes de seno e cosseno com as formulas:

    sen(a+b) = sena.senb + senb.cosa

    sen(a-b) = sena.senb - senb.cosa

    cos(a+b) = cosa.cosb - sena.senb

    cos(a-b) = cosa.cosb + sena.senb

    Lembre que sen(pi/4) = cos(pi/4) = (raiz de 2)/2

    Substitua esse valor e coloque (raiz de 2)/2 em evidencia.

    Vai aparecer: (cosx-senx)/(senx+cosx) = (sen2x)/(cos2x)

    Multiplique cruzado e use as fórmulas de seno e cosseno para resumir assim;

    cos(x+2x) = sen(x+2x)

    cos3x = sen3x

    Bem, seno só é igual a cosseno se o ângulo for de pi/4 ou 5pi/4

    Entao, 3x = pi/4 ou 3x = 5pi/ 4

    Dai, x = pi/12 ou x = 5pi/12

    Abraço!

  • x + pi/4 = 2x - pi/2

    2x - x = pi/4 + pi/2

    x = pi/4 + 2pi/4 = 3pi/4

    cotg (3pi/4 + pi/4) = cotg (pi) = não é um numero real

    pois cotg(pi) = 1/tg pi

    tg pi = 0

    e não se pode dividir por 0

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