Potete aiutarmi a risolvere questo integrale?=)
(2x+5)/(2x^2+5x-12)
Salve,
∫ [(2x + 5) /(2x² + 5x - 12)] dx =
come primo passo scomponiamo il denominatore in fattori:
2x² + 5x - 12 = 2x² + 8x - 3x - 12 = 2x (x + 4) - 3(x + 4) = (x + 4)(2x - 3)
quindi procediamo con la scomposizione in fratti semplici:
(2x + 5) /[(x + 4)(2x - 3)] = A/(x + 4) + B/(2x - 3)
(2x + 5) /[(x + 4)(2x - 3)] = [A(2x - 3) + B(x + 4)] /[(x + 4)(2x - 3)]
(eguagliando i numeratori)
2x + 5 = A(2x - 3) + B(x + 4)
2x + 5 = 2Ax - 3A + Bx + 4B
2x + 5 = (2A + B)x + (- 3A + 4B)
(eguagliando i coefficienti dei due membri)
2A + B = 2
- 3A + 4B = 5
B = - 2A + 2
- 3A + 4(- 2A + 2) = 5 → - 3A - 8A + 8 = 5 → - 11A = 5 - 8 → 11A = 3
B = - 2A + 2 = - 2(3/11) + 2 = (- 6 + 22)/11 = 16/11
A = 3/11
ottenendo dunque:
(2x + 5) /[(x + 4)(2x - 3)] = A/(x + 4) + B/(2x - 3) = (3/11)/(x + 4) + (16/11)/(2x - 3)
quindi l'integrale diviene:
∫ {[(3/11) /(x + 4)] + [(16/11) /(2x - 3)]} dx =
(spezzando in due integrali e portando fuori le costanti -nel secondo integrale portando fuori 8/11 e lasciando al numeratore 2 in modo da avere al numeratore la derivata del denominatore-)
(3/11) ∫ [1 /(x + 4)] dx + (8/11) ∫ [2 /(2x - 3)] dx =
(3/11) ln |x + 4| + (8/11) ∫ d(2x - 3) /(2x - 3) =
(3/11) ln |x + 4| + (8/11) ln |2x - 3| + C (risultato)
spero sia di aiuto
Ciao
Comments
Salve,
∫ [(2x + 5) /(2x² + 5x - 12)] dx =
come primo passo scomponiamo il denominatore in fattori:
2x² + 5x - 12 = 2x² + 8x - 3x - 12 = 2x (x + 4) - 3(x + 4) = (x + 4)(2x - 3)
quindi procediamo con la scomposizione in fratti semplici:
(2x + 5) /[(x + 4)(2x - 3)] = A/(x + 4) + B/(2x - 3)
(2x + 5) /[(x + 4)(2x - 3)] = [A(2x - 3) + B(x + 4)] /[(x + 4)(2x - 3)]
(eguagliando i numeratori)
2x + 5 = A(2x - 3) + B(x + 4)
2x + 5 = 2Ax - 3A + Bx + 4B
2x + 5 = (2A + B)x + (- 3A + 4B)
(eguagliando i coefficienti dei due membri)
2A + B = 2
- 3A + 4B = 5
B = - 2A + 2
- 3A + 4(- 2A + 2) = 5 → - 3A - 8A + 8 = 5 → - 11A = 5 - 8 → 11A = 3
B = - 2A + 2 = - 2(3/11) + 2 = (- 6 + 22)/11 = 16/11
A = 3/11
ottenendo dunque:
(2x + 5) /[(x + 4)(2x - 3)] = A/(x + 4) + B/(2x - 3) = (3/11)/(x + 4) + (16/11)/(2x - 3)
quindi l'integrale diviene:
∫ {[(3/11) /(x + 4)] + [(16/11) /(2x - 3)]} dx =
(spezzando in due integrali e portando fuori le costanti -nel secondo integrale portando fuori 8/11 e lasciando al numeratore 2 in modo da avere al numeratore la derivata del denominatore-)
(3/11) ∫ [1 /(x + 4)] dx + (8/11) ∫ [2 /(2x - 3)] dx =
(3/11) ln |x + 4| + (8/11) ∫ d(2x - 3) /(2x - 3) =
(3/11) ln |x + 4| + (8/11) ln |2x - 3| + C (risultato)
spero sia di aiuto
Ciao