Trata-se de uma equação linear não homogenea, por enquanto desconheço os metodos de laplace e fourier o que poderia me ajudar, porem necessito da equação geral da mesma...
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Observe:
y'' + 2y' + 5y = 3.sen ( 2x )
O polinômio caracteristico é:
r² + 2r + 5 = 0
∆ = 4 - 20 = - 16
r₁= - 1 + 2i
r₂ = - 1 - 2i
Onde;
α = - 1 e β = 2 .
Determinando a equação homogênea, temos:
yh = C₁.eᵅ˙ˣ.cos ( β.x ) + C₂.eᵅ˙ˣ.sen ( β.x )
yh = C₁.e⁻¹˙ˣ.cos ( 2.x ) + C₂.e⁻¹˙ˣ.sen ( 2.x )
yh = C₁.e⁻ˣ.cos ( 2.x ) + C₂.e⁻ˣ.sen ( 2.x )
Agora, vamos encontrar a equação particular, temos que:
yp = A.cos ( 2x ) + B.sen ( 2x )
y'p = - 2A.sen ( 2x ) + 2B.cos ( 2x )
y''p = - 4A.cos ( 2x ) - 4B.sen ( 2x )
Substituindo os valores yp , y'p e y''p em y'' + 2y' + 5y = 3.sen ( 2x ), fica;
- 4A.cos (2x) - 4B.sen (2x) + 2[-2Asen (2x) + 2Bcos (2x)] + 5[Acos (2x) + Bsen (2x)] = 3sen (2x)
- 4A.cos (2x) - 4B.sen (2x) - 4Asen (2x) + 4Bcos (2x) + 5Acos (2x) + 5Bsen (2x) = 3sen (2x)
Acos ( 2x ) + 4Bcos (2x) + Bsen (2x) - 4Asen (2x) = 3.sen (2x)
[ A + 4B ].cos (2x) + [ B - 4A ].sen ( 2x ) = 0.cos ( 2x ) + 3.sen ( 2x )
Comparando os termos, obteremos o seguinte sistema:
{ A + 4B = 0
{ B - 4A = 3
{ A + 4B = 0 .....x ( 4 )
{ - 4A + B = 3
{ 4A + 16B = 0
{ - 4A + B = 3
▬▬▬▬▬▬▬▬
.......17B = 3 ⇒ B = 3/17
Então;
A + 4B = 0 ⇒ A + 4.( 3/17 ) = 0 ⇒ A = - 12/17
Logo;
yp = ( - 12/17 ).cos ( 2x ) + ( 3/17 ).sen ( 2x )
Portanto, a solução geral da equação dada é:
y( x ) = yh + yp
R ────► y( x ) = C₁.e⁻ˣ.cos (2x) + C₂.e⁻ˣ.sen (2x) - ( 12/17 ).cos (2x) + ( 3/17 ).sen (2x)
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Piauí - Teresina , 12/10/2011
Hora 23 : 56
Temperatura 32º
Abraços !!!!!!!!!!
Fonte(s)
Minha...
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y = c1 e^(-x) sin(2 x)+c2 e^(-x) cos(2 x)-3/17 (4 cos(2 x)-sin(2 x))