matemática, questão para estudo de prova?
o número complexo Z=a+bi que verifica a igualdade 3z+2Z(traço em cima do z)=15+5i, onde Z(traço em cima) representa o conjugado do número complexo Z, possui módulo igual a: tenho o gabarito mas não consigo fazer a questão. A resposta é raíz quadrada de 34. obrigado a todos que me ajudar.
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Sendo z o número complexo a+bi,se Z é o seu conjugado,ele é representado por a-bi,logo:
3z+2Z=15+5i
3(a+bi)+2(a-bi)=15+5i
3a+3bi+2a-2bi=15+5i
5a+bi=15+5i
Logo:
5a=15
a=3
e
b=5
Calculando o módulo de z,temos:
|z|=√(3²+5²)
|z|=√(9+25)
|z|=√34
flws...
Olha só:
Z=a+bi
Z* = complexo conjugado = a-bi (é só trocar o sinal da parte imaginária)
Assim:
3z+2z* = 15+5i
Acharemos quanto vale z, em seguida, calcularemos o seu módulo.
3(a+bi)+2(a-bi)=15+5i
3a+3bi+2a-2bi = 15+5i
Agora, separemos parte real de parte imaginária:
5a+bi = 15+5i
5a=15 => a=3
b=5
Dessa forma, o complexo é z=a+bi = 3+5i
Calculando o seu módulo:
|z| =â(3²+5²) = â(9+25) =â34
Entendido?
Até!
O conjugado de um numero z = a+bi é z(traço em cima) = a - bi
Então como 3z + 2z(traço emcima) = 15+5i, temos que:
3(a+bi) + 2(a-bi) = 15+5i
3a + 3bi + 2a - 2bi = 15+5i
5a + bi = 15+5i
Pela igualdade temos que:
5a = 15 >> a = 3 e
b = 5
Então o nosso numero complexo é:
3 + 5i, o modulo de um numero complexo a+bi é:
|z| = (raiz quadrada de) a² + b², então:
|z| = (raiz quadrada de) 3² + 5²
|z| = (raiz quadrada de) 9 + 25
|z| = â34
R> |z| = â34
Espero ter ajudado o/