O Wikilivros possui livros ou outros textos didáticos sobre: Teoria de números/Números primos
Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo. Em outras palavras, é um número maior que um que não é divisível por nenhum outro número maior que um e menor que ele mesmo.
Nos inteiros, p \in \mathbb{Z} é um primo se p \ne 0, p \ne 1 e se p = ab com a,b \in \mathbb{Z} então a = \pm 1 ou b = \pm 1.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que 1 e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:
1. O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
2. Dado um número natural n, qual é a proporção de números primos entre os números menores que n?
* A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n os primos. Seja P o número tal que
P = \prod_{i=1}^n p_i + 1, onde \prod denota o produtório.
Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n, pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se P é composto, existe um número primo q tal que q é divisor de P.
Mas obviamente q \ne\ p_1,\; p_2,\; ...,\; p_n. Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto n e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n(n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como n(n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n(n + 1). Ao multiplicar os dois números, temos [n(n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
* A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente \frac{n}{\ln (n)}, onde ln é o logaritmo natural.
* Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.
* O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k!
* Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a \sqrt{k}.
* Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos
41 = 42 + 52.
Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:
(4n + 1) - que podem sempre ser escritos na forma (x2 + y2) e (4n − 1) - nunca podem ser escritos na forma (x2 + y2).
Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de onze números compostos e não existem primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo x2 − x + 41 fornece primos quando x=0,\ 1,\ 2,\ ..., \ 40. Veja que para x = 41, a fórmula resulta em 412 que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de x, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em x com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de x.
Não se sabe se há uma expressão polinomial ax2 + bc + c com a \ne 0 que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se a, 2b e c não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis
ERRR de acordo com o teorema de fermat temos:
Por volta de 1637, Pierre de Fermat, um matemático francês amador, estudava problemas e soluções relacionados ao Teorema de Pitágoras. Em um momento de genialidade, ele criou uma equação que, embora fosse semelhante à de Pitágoras, não tinha solução. Ele trocou a potência de 2 para 3, do quadrado para o cubo. Como aparentemente esta nova equação não tinha solução, ele a alterou mais ainda, trocando a potência da equação por números maiores que 3, e igualmente não havia soluções para elas. Assim, Fermat presumiu que não existia um trio de números inteiros que se encaixasse na equação
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Números Primos
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
O 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
O 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
Números que só são dividos pelo 1 e por ele mesmo.
Números com apenas dois divisores. Ex: 2 que é o único número par primo, 3, 5, 7, 11, 13...
meros primos)
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Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo. Em outras palavras, é um número maior que um que não é divisível por nenhum outro número maior que um e menor que ele mesmo.
Nos inteiros, p \in \mathbb{Z} é um primo se p \ne 0, p \ne 1 e se p = ab com a,b \in \mathbb{Z} então a = \pm 1 ou b = \pm 1.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que 1 e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Os 25 primeiros números primos positivos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Exemplos de decomposições:
* 4 = 2 \times 2
* 6 = 2 \times 3
* 8 = 2 \times 2 \times 2
* 9 = 3 \times 3
* 10 = 2 \times 5
* 472.342.734.872.390.487 = 3 \times 7 \times 827 \times 978.491 \times 27.795.571
Índice
[esconder]
Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:
1. O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
2. Dado um número natural n, qual é a proporção de números primos entre os números menores que n?
* A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n os primos. Seja P o número tal que
P = \prod_{i=1}^n p_i + 1, onde \prod denota o produtório.
Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n, pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se P é composto, existe um número primo q tal que q é divisor de P.
Mas obviamente q \ne\ p_1,\; p_2,\; ...,\; p_n. Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto n e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n(n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como n(n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n(n + 1). Ao multiplicar os dois números, temos [n(n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
* A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente \frac{n}{\ln (n)}, onde ln é o logaritmo natural.
* Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.
* O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k!
* Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a \sqrt{k}.
* Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos
41 = 42 + 52.
Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:
(4n + 1) - que podem sempre ser escritos na forma (x2 + y2) e (4n − 1) - nunca podem ser escritos na forma (x2 + y2).
Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de onze números compostos e não existem primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo x2 − x + 41 fornece primos quando x=0,\ 1,\ 2,\ ..., \ 40. Veja que para x = 41, a fórmula resulta em 412 que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de x, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em x com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de x.
Não se sabe se há uma expressão polinomial ax2 + bc + c com a \ne 0 que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se a, 2b e c não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis
ERRR de acordo com o teorema de fermat temos:
Por volta de 1637, Pierre de Fermat, um matemático francês amador, estudava problemas e soluções relacionados ao Teorema de Pitágoras. Em um momento de genialidade, ele criou uma equação que, embora fosse semelhante à de Pitágoras, não tinha solução. Ele trocou a potência de 2 para 3, do quadrado para o cubo. Como aparentemente esta nova equação não tinha solução, ele a alterou mais ainda, trocando a potência da equação por números maiores que 3, e igualmente não havia soluções para elas. Assim, Fermat presumiu que não existia um trio de números inteiros que se encaixasse na equação