Note que (â5+1)(â5-1) = 5 - 1, pela propriedade de diferença entre dois quadrados, que estipula que (a + b)(a - b) = a² - b².
No denominador, entretanto, temos (â5-1)², pela expansão de quadrados: (a - b)² = a² - 2ab + b², logo, (â5-1)² = 5 - 2â5 + 1, que ainda MANTÃM A RAIZ NO DENOMINADOR.
SEMPRE para estas questões de racionalização envolvendo dois valores, devemos escolher o denominador e trocar o sinal entre os números para escrever o nosso 1(temos que ser racional). Na sua primeira expressão fazemos o nosso de â5-1 trocamos o seu sinal entre os números e escrevemos: 1=â5+1/â5+1, (reproduza as expressões no papel, vai ficar mais fácil pra você entendê-las).
(â5+1/â5-1)*(â5+1/â5+1) = ... Se não estiver entendendo, recomece a ler do Precisamos lembrar...
No seu caderno ficará mais fácil de ver, e o que você tem que fazer agora e multiplicar numerado a numerador {(â5+1)*(â5+1)} e multiplicar denominador a denominador {(â5-1)*(â5+1)}. Da multiplicação dos numeradores temos como resultado:
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Em racionalizações desta forma, deve multiplicar pelo conjugado do denominador [lembrando que se o denominador é a + b, o conjugado é a - b]
√5 + 1
√5 - 1
(√5 + 1) . (√5 + 1) [conjugado do denominador]
(√5 - 1) ... (√5 + 1)
(√5 + 1)²
5 - 1 [aplicando distributiva]
(5 + 2√5 + 1) / 4
**************
= 1 / (3 + √2)
= [1 . (3 - √2)] / [(3 + √2) . (3 - √2)]
= (3 - √2) / (3 - 2)
= 3 - √2
Racionalização é um processo necessário para que não se tenha raÃzes em denominadores de frações. Para que se possa, portanto, retirar as raÃzes dos denominadores, precisamos multiplicar o denominador e o numerador por um fator racionalizante, isto, porque, ao multiplicar somente o numerador ou somente o denominador, mudamos o valor da fração.
Assim, para racionalizar, basta multiplicar pelo fator que retire a raiz do denominador. No primeiro caso:
â5+1
———, se multiplicarmos em cima e em baixo por (â5-1), o que seria
â5-1
o primeiro reflexo ao olhar para a fração, NÃO IREMOS RACIONALIZÃ-LA, veja:
(â5+1) / (â5-1) = (â5+1)(â5-1) / (â5-1)(â5-1) = (5 - 1) / (â5-1)²
Note que (â5+1)(â5-1) = 5 - 1, pela propriedade de diferença entre dois quadrados, que estipula que (a + b)(a - b) = a² - b².
No denominador, entretanto, temos (â5-1)², pela expansão de quadrados: (a - b)² = a² - 2ab + b², logo, (â5-1)² = 5 - 2â5 + 1, que ainda MANTÃM A RAIZ NO DENOMINADOR.
A chave para resolver estes tipos de racionalização é multiplicar o denominador por um fator que permita aplicar a regra de diferença de quadrados, já que, assim, teremos a subtração entre dois termos elevado ao quadrado, o que elimina a raiz:
Então, multiplicando a primeira fração por (â5+1)/(â5+1), vem:
(â5+1)/(â5-1) = (â5+1)(â5+1)/(â5-1)(â5+1) = (â5+1)²/(5 - 1) =
= (5 + 2â5 + 1)/4 = (6 + 2â5)/4 = 2(3 + â5)/4 = (3+â5)/2
Assim, a primeira fração é:
(â5+1)/(â5-1) = (3+â5)/2
Da mesma forma, resolvemos a segunda fração como:
1/(â3+â2) = 1.(â3-â2)/(â3+â2)(â3-â2) = (â3-â2)/(3 - 2) = â3-â2
A segunda fração é, portanto:
1/(â3+â2) = â3-â2
Espero tê-la ajudado.
Você me fez lembrar da minha 7° série quando me deparei com esse termo pela primeira vez e por algumas semanas não entendia nem o livro, nem o que a minha professora tentava me explicar ,heheh!
Isso pode parece confuso mesmo, talvez até esdrúxula, mas é de uma simplicidade única.
RACIONALIZAR é "pensar" como você pode tornar a expressão mais simples de ser apresentada.
Humm!
Você concorda que é mais simples resolver uma expressão sem raiz no denominador?
Na pratica você tem que perceber que: RACIONALIZAR à SUMIR COM A RAIZ DO DENOMINADOR
Ai você se pergunta; - Ta entendi, mas como eu faço isso???
Calma, guria, não fique enfurecida, evite os futuros pés-de-galinha.
Veja bem:
Concorda que se você escrever ( visualize como uma fração, já que não dá pra escrever as expressões aqui): 4/4, 2/2,3/3,5/5,15/15,500/500,4596/4596, todos esses valores na pratica é igual a 1(um)? Ou seja: podemos escrever qualquer número (a) no numerador e repeti-lo (a) no denominado e obter o resultado igual a um. De um modo geral temos: a/a = 1. Pronto, chegamos à nossa primeira racionalização.
E se fizermos â3/â3, isso vai dar 1 também?
A resposta é sim . Sempre que o NUMERADOR FOR IGUAL AO DENOMIDARO o resultado será sempre 1.
Você pode estar se perguntando agora:
-Deixa vê se entendi, você ta me dizendo que se eu escrever:
â3+1/â3+1=1?
Sim claro, exatamente. Da mesma forma que se você fizer:
â3+a/â3+a =1, ou â3-b/â3-b =1, ou (â3*4+5-8)/(â3*4+5-8) = 1
Você deve agora estar dizer: Eu já entendi que podemos escrever o numero 1 por infinitas formas bastando, em uma fração, escrever o mesmo valor no numerador e no denominador (caso tenha esquecido o que é o denominador e o numerador é só lembrar que numerados estar em cima e denominador estar em baixo). E prossegue a sua pergunta: - entendi tudo, mas você ainda não me disse como racionalizar e foi apenas isso que te perguntei.
.
Calma guria veja bem:
Lembra que na multiplicação temos o numero 1 como elemento neutro?
Ou seja: posso multiplicar qualquer valor por 1 que o resultado será sempre o mesmo. Agora vamos para o pulo do gato; preste muita atenção:
Essa é a sua primeira expressão: â5+1/â5-1=... o que nós precisamos é sumir com a raiz no denominar (quem ta em baixo), não vamos mexer com quem ta encima, daà a importância de você saber escrever o seu 1, lembra, ser racional.
SEMPRE para estas questões de racionalização envolvendo dois valores, devemos escolher o denominador e trocar o sinal entre os números para escrever o nosso 1(temos que ser racional). Na sua primeira expressão fazemos o nosso de â5-1 trocamos o seu sinal entre os números e escrevemos: 1=â5+1/â5+1, (reproduza as expressões no papel, vai ficar mais fácil pra você entendê-las).
Precisamos lembrar que o 1 na multiplicação é neutro, não altera o valor da expressão multiplicada. Pronto: vamos agora pegar a sua expressão e multiplicar por esse 1 esquisito que nós imaginamos, ou seja RACIONALIZAMOS, a expressão ficará assim;
(â5+1/â5-1)*(â5+1/â5+1) = ... Se não estiver entendendo, recomece a ler do Precisamos lembrar...
No seu caderno ficará mais fácil de ver, e o que você tem que fazer agora e multiplicar numerado a numerador {(â5+1)*(â5+1)} e multiplicar denominador a denominador {(â5-1)*(â5+1)}. Da multiplicação dos numeradores temos como resultado:
{(â5+1)*(â5+1) = â5*â5 + â5+ â5 +1= 5+ 2â5 +1= 6+ 2â5 }
Da multiplicação dos denominadores temos como resultado:
{(â5-1)*(â5+1) = â5*â5 + â5 -â5 -1= 5 +0 -1= 4}.
Pronto, sua Racionalização ficará assim:
(â5+1/â5-1) = (6+ 2â5)/4
Tente repetir o passo a passo com a sua segunda expressão: 1/(â3+â2) o resultado será:
1/(â3+â2) = â3-â2
Resolução.
[1/(â3+â2)]*[ (â3-â2) /(â3-â2)]
Multiplicamos os numeradores:
1 * (â3-â2) = â3-â2
Multiplicamos os denominadores:
(â3+â2) * (â3-â2) = (â3*â3 - â3*â2 +â2*â3- â3* â3) = 3+0-2 = 1
Temos finalmente que:
1/(â3+â2) = â3-â2
LEMBRE QUE A PERFEIÃÃO SÃ SE CHEGA COM REPETIÃÃO.
Sucessos, guria.
â5+1
——— =
â5-1
â5+1       â5+1      (â5)² + 2 x â5 x 1 + 1²
——— x ——— = —————————— =
â5-1        â5+1              (â5)² - 1²
5 + 2â5 + 1Â Â Â Â Â 2â5 + 6Â Â Â Â Â Â Â 2â5 + 6Â Â Â Â Â Â Â Â
————— = ———— = ———— =
   5 - 1             4                     4        Â
2 (â5 + 3)
—————
         4
1Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â â3 - â2Â Â Â Â Â Â Â Â â3 - â2
——— x ———— = ————— =
â3+â2     â3 - â2      (â3)² - (â2)²
â3 - â2
———— = â3 - â2
3 - 2
Espero ter ajudado, kisu =*
(â5+1)/(â5+1)=(â5+1)*(â5+1)/((â5-1)/(â5+1)=
(5+2â5+1)/(5-1)=(6+2â5)/4=(3+â5)/2
1/(â3+â2)=(â3-â2)/(â3+â2)*(â3-â2)=
(â3-â2)/(3-2)=â3-â2
multiplique a prieira por â5+1 vai dar,
3+â5
———
2
e a segunda por â3-â2 vai dar,
â3-â2
———
5
Perceba que para racionalizar, tem de mudar o sinal do meio!
Ronaldo